3.135 FAQ-782 为什么误差棒有较大变化时，参数的标准误差仍保持不变？

Last Update: 5/24/2025

为了保持拟合参数的标准误差 (SE) ，以及相关的结果与其他软件兼容，在默认情况下会选中 the Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 框。在选中此选项框时，即使误差棒发生很大变化，参数的 SE 也保持不变。我们建议在选用 Instrumental, Arbitrary Dataset or Direct Weighting 这些权重选项来拟合数据时，取消选中此选项，从而使参数的 SE 能反映权重的大小。

你可以在以下对话框，找到 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 选项：

Nonlinear Fit 对话框的 Advanced 选项卡: Fit Control, 或者
Linear Regression 对话框的 Fit Control 选项卡 .

注意:

此选项仅会影响拟合参数的SE，并不会以任何方式影响拟合过程或参数值。

1 简单的理论解释
2 简单示例
- 2.1 Sample data
- 2.2 Related Topics

简单的理论解释

我们在下面会讨是否选中 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 是如何改变第 j 个拟合参数 $\theta_j$ 的SE值。为了简化问题，我们假设误差棒 $\sigma_{y_i}$ 是通过乘以常数 k 来缩放大小的。更详细的算法和解释，请参考非线性曲线拟合的理论。

默认情况下，当 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 选中时，对于参数 $\hat \theta$ 的方差-协方差矩阵 (variance-convariance matrix) $C$ 取决于 $F'F$ 和 $\sigma^2$ 。

$C=(F'F)^{-1}\sigma^2$	(1)

其中 $F$ 是偏导数矩阵，其在 i 行和 j 列中的元素是：

$F_{ij}=\frac{\partial f(X, \boldsymbol{\theta})}{\sigma _{y_i}\partial \theta _j}$	(2)

并且 $\sigma^2$ 是误差方差，它是根据 Reduced Chi-Sqr 估算得到的:

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{{\sigma_{y_i}}^2} \left[Y_i-f(X, \boldsymbol{\theta}) \right ]^2/df_{\text{Error}}$	(3)

$\theta_j$ 的SE 是矩阵 $C$ 的主对角线值的平方根。

$\sigma_{\theta_j}=\sqrt{c_{jj}}\,\!$	(4)

如果误差棒 $\sigma_{y_i}$ 是随常数 k 而改变，那么 $F'F$ 和 $\sigma^2$ 也将会随因子 $1/k^2$ 而改变，则 k 值将在 SE 的计算中相互抵消。因此，当缩放误差时，SE 仍保持不变。

如果取消选择 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr)，这意味着当计算方差-协方差矩阵时与 $\sigma^2$ 无关，矩阵 $C$ 仅取决于 $(F'F)^{-1}$ 。

$C=(F'F)^{-1}$	(5)

此时，SE 变为

$\sigma'_{\theta_j}=\frac{\sigma_{\theta_j}}{\sigma}$	(6)

如果误差棒乘以k，那么 SE 也将会是 k 倍。

在拟合模型之后，我们使用 reduced chi-sqr 来检查权重是否可以表示实际的 Y 误差。简而言之，如果你发现选不选择 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 选项，会使参数的标准误有很大的变化，这意味着权重可能无法表示实际的 Y 误差。想了解有关详细信息，请参考此页。

简单示例

下面是一个简单的示例，可以验证 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 仅影响拟合参数的 SE。

复制这个数据，并粘贴到工作表中。
右键单击 col(C)，选择 Set As: Y Error。
选中所有列，然后在菜单中选择 Analysis: Fitting: Nonlinear Curve Fit，打开 Nonlinear Fit 对话框。
在 Function 下拉列表中选择 Gauss. 选择 Advanced 页面，展开 Fit Control 分支。确认选中 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 复选框。

点击 Fit，生成拟合报告，其中包含参数值和 SE 。
点击绿色锁，选择 Change Parameters。在打开的 Nonlinear Fit 对话框中，取消选中 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr)。

点击 Fit。参数的 SE 改变但拟合值不改变。
现在我们将调整误差，并查看选不选择 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr) 选项是如何影响 SE 的。通过 Change Parameters打开 Nonlinear Fit对话框。选中 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr)，并将 Recalculate 更改为自动。
将误差列 C 乘以10。报告表将会自动更新。你会看到参数的 SE 值保持不变（对比步骤4的第二张图片）。
再次通过 Change Parameters 打开 Nonlinear Fit 对话框。取消选中 Scale Error with sqrt(Reduced Chi-Sqr)。点击 Fit。你会看到此时，SE 的值乘以10。

Sample data

X	Y	Y Error
11	5	0.4472
13	10	0.6324
15	19	0.8718
17	27	1.0392
19	49	1.4
21	65	1.6124
23	77	1.755
25	80	1.7888
27	77	1.755
29	59	1.5362
31	44	1.3266
33	24	0.9798
35	11	0.6634
37	14	0.7484
39	4	0.4

3.135 FAQ-782 为什么误差棒有较大变化时，参数的标准误差仍保持不变？

Contents

简单的理论解释

简单示例

Sample data

Related Topics