球面座標データをXYZに変換し3Dグラフを作成

サマリー

このチュートリアルでは、球面座標データの3Dグラフの作成に関わる操作と、Xファンクションsph2cart を使用して球面座標から直交座標のワークブックや行列に変換する方法を紹介します。

sph2cartの変換アルゴリズムを確認すると、Originは変換式の中で、仰角として $\phi$ を使用し、方位角として $\theta$ を使用することがわかります。

$x = r \ast cos\left ( \phi \right ) \ast cos \left ( \theta \right );$

$y = r \ast cos\left ( \phi \right ) \ast sin \left ( \theta \right );$

$z = r \ast sin\left ( \phi \right );$

学習する項目

球面座標のワークシート(仮想行列)データを直交座標に変換して3D曲面図を作成
球面座標の行列オブジェクトを直交座標に変換して3D曲面図を作成
球面座標の3つの行列オブジェクトを直交座標に変換して個別の3D曲面図を作成
球面座標のワークシート(XYZ)データを直交座標(XYZ)に変換して3D空間に曲線を作成

ステップ

仮想行列のデータで3Dカラーマップ曲面図を作図

Originは、仮想行列(特別な座標形式)内のデータで曲面グラフを作図でき、カラーマップを追加できます。以下の操作で、カラーマップ曲面の楕円体を作図します。

このチュートリアルは、チュートリアルデータプロジェクト（<Origin EXE フォルダ>\Samples\TutorialData.opj）と関連しています。

Tutorial Data.opjを選択し、フォルダSpherical Coordinatesを開きます。
チュートリアルデータ内の仮想行列データspheriPlot を開くと、下図のような構造になっていることが確認できます。

このサンプルでは、方位角 $\theta$ の範囲は0から360で、仰角 $\phi$ の範囲は-90から90です。角度の単位には度を使用します。
スクリプトウィンドウを開き、以下のコードを入力して実行します。

sph2cart -d;

sph2cartダイアログで下図のように設定して、OKをクリックします。XYZに対応する、3つの新しい行列オブジェクトが作成されます。
行列レイヤ内の行列Zの後に、カラーマップデータ用の行列オブジェクト「4」を追加します。
Spherical Coordinatesフォルダのcolormap 行列のデータをコピーし、新しく追加した行列オブジェクトに貼り付けます。
行列データから3D曲面図を作成します。行列オブジェクトZをアクティブにして、次のようにメニューを選択します。作図：3D：3Dカラーマップ曲面をクリックします。

プロット上でダブルクリックして、作図の詳細ダイアログを開きます。面タブのパラメトリック曲面を下図のように設定して、OKボタンをクリックします。
CTRL+R を押して軸を再スケールし、軸上でダブルクリックしてダイアログを開きます。XYZ軸のスケールをすべて-1.2 から1.2に設定してOKボタンをクリックします。

グラフは下図のようになります。
楕円体にカラーマップを適用します。曲面上でダブルクリックして作図の詳細ダイアログを開き、塗りつぶしタブを開いて行列から等高線を塗りつぶすをMat(4)に変更します。
カラーマップ/等高線タブでは、ヘッダをクリックして、レベルの設定、塗り方、等高線ダイアログを開くことができます。最小/最大の検索ボタンをクリックしてレベルを設定し、OKボタンをクリックして適用します。塗り方の「パレットをロード」で「Maple」を選択します。等高線ダイアログでは「全て隠す」を選択してOKをクリックし、適用をクリックして設定を適用します。

メッシュタブを開き、有効にするのチェックを外してメッシュ線を無効にし、OKをクリックしてダイアログを閉じます。
最終的なグラフは下図のようになります。

方位角と仰角は、 $(r,\theta,\varphi )$ 空間に偏在できます。

行列オブジェクトのデータを変換して3D曲面図を作図

Originは球面座標の $R(\theta ,\varphi )$ 曲面関数を構成することができます。方位角、仰角、半径は同じ行列に配置されます。球面座標の方程式から行列値を設定する前に、sph2cartで変換関係とシステム内での方位角、仰角の定義を確認できます。
新しい行列を作成します。メインメニューから行列：次数/ラベルの設定を選択します。次数を $100\times 100$ にし、Xのマッピングを $(0,2\pi )$ 、Yのマッピングを $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ に設定します。XとYは角度データで、Xは列を横断する方位角、Yは仰角です。

このサンプルでは、方位角 $\theta$ の範囲は0から $2\pi$ で、仰角 $\phi$ の範囲は $-\frac{\pi }{2}$ から $-\frac{\pi }{2}$ です。角度の単位にはラジアンを使用します。
メニューから「行列：セル値の設定」を選びます。値の設定ダイアログに以下の式を入力します。

abs(sqrt(0.5)*0.25*(15/pi)^0.5*sin(pi/2-y)*sin(pi/2-y)*(sin(2*x)-cos(2*x)))

球面調和関数を使用して行列値を設定し( $Y_l^{m}$ は、球面調和関数の特定のセット)、 $Y_l^{m}$ の線形結合は、水素原子のd軌道 (例 $d_{xy}$ )に相当します。

$\left | d_{xy} \right |=\left | \sqrt{1/2}(Y_2^{-2}-Y_2^{2}) \right |\; \; (1)$

関数(1)の $Y_2^{2}$ と $Y_2^{-2}$ は

$Y_2^{2}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}sin^2(\frac{\pi}{2}-\varphi )cos(2\theta )$

$Y_2^{-2}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi}}sin^2(\frac{\pi}{2}-\varphi )sin(2\theta )$
球面座標の行列は、Xファンクションsph2cartを使用して直交座標に変換できます。ウィンドウ：スクリプトウィンドウを選択して以下のスクリプトを入力し、Enterキーを押して実行します。

sph2cart -d

sp2cart ダイアログで下図のように設定し、単一行列オブジェクトを入力データとします。

OKをクリックすると、新しい行列シート(MSheet2)に結果が出力します。
行列データから3D曲面図を作図します。MSheet2 の行列オブジェクトZをアクティブにします。

メインメニューから作図：3D：3Dカラーマップ曲面を選択します。
曲面上でダブルクリックして、作図の詳細ダイアログを開き、下図のようにパラメトリック曲面を設定し、OKボタンをクリックします。
CTRL+R を押して軸を再スケールし、軸上でダブルクリックして軸ダイアログを開きます。XYZ軸のスケールをすべて-0.5から0.5に設定し、主目盛を0.2にしてOKボタンをクリックします。
グラフは下図のようになります。
曲面図をダブルクリックして、作図の詳細ダイアログを開きます。カラーマップ/等高線タブを開き、レベル/色塗り/線のヘッダをクリックして、それぞれのダイアログで下図のように設定を行います。

メッシュタブを開き、透明度の自動のチェックを外して値を70%に変更します。

カラーマップの設定については、パラメトリック曲面のチュートリアルを確認してください。下図が最終的なグラフです。

3つの行列オブジェクトのデータを変換して3D曲面図を作図

Originは球面座標の $R(\theta ,\varphi )$ 曲面関数を構成することができます。方位角、仰角、半径は異なる行列に配置されます。以下のステップでは、3つの行列を使用して複数曲面図を作成する方法と、sph2cartを使用してXYZに変換する方法を紹介します。

新しい行列を作成します。行列次数/ラベルの設定ダイアログで、行列の次数を $98\times 33$ に設定し、OKをクリックします。
行列ウィンドウの右上にあるDボタンをクリックし、メニューから追加を選択して行列ブックに2つのオブジェクトを追加します。
最初の行列オブジェクトに方位角を入力します。1番目の行列オブジェクトをアクティブにし(Dボタンをクリックして1/2/3を選択し切り替え)、メニューから行列：セル値の設定をクリックします。方位角の行列値は以下のように設定します。
値の設定ダイアログで、下の式を入力します。

(j==33||j==66)?1/0:(pi/32*j*(j<33)+pi/32*(j-33)*(j>33&&j<66)+pi/32*(j-66)*(j>66))

0から $2\pi$ まで3回ループし、Column (33)とColumn (66)は欠損値になります。
仰角は2番目の行列オブジェクトにに入力します(操作2の方法で行列オブジェクト2を選択します)。次の式を使用して仰角の値を設定します。

pi/32*(i-17)
3番目の行列オブジェクトに、次式により半径を入力します。

$Col(i,j)=\begin{cases} 1 & \text{ if } i\in [1,32] \\ 0.7 & \text{ if } i\in [33,65] \\ 0.4& \text{ if } i\in [66,98] \\ \end{cases}$

半径値の設定は区分的なので、操作3、4、5を参照し、次のコードを使用します。

1*(j<33)+0.7*(j>33&&j<66)+0.4*(j>66)
3つの行列で値を設定後、sph2cartを使用してデータをXYZに変換できます。スクリプトウィンドウを開き、以下のコードを入力して実行します。

sph2cart -d;

sph2cartダイアログで下図のように設定して、OKをクリックします。3つの行列に対するXYZデータが出力されます。
新しい行列レイヤに作成されたXYZ行列オブジェクトを使用して3D曲面図を作成します。その際の操作は、上述のセクションの行列オブジェクトのデータを変換して3D曲面図を作図と同様です。

最終的なグラフは下図のようになります。

3列のデータを変換して3D空間に曲線を作図

Originでは、不等間隔なXYZ列データ(球面座標)で3Dの曲線を作成できます。以下の操作で、球の形状のらせんを作図します。

3つの列X、Y、Zを持つ新しいワークブックを作成します。Xの値として $-\frac{\pi }{100}$ から $20\pi$ までの値をセットするために、列を右クリックして、メニューから列値の一律設定：数値のセットを選択します。

列値の設定でY列の値を以下のように設定します。

列値の設定でZ列の値を定数4に設定します。

このサンプルでは、Xが方位角、Yが仰角、Zが半径に相当します。
スクリプトウィンドウを開き、以下のコードを入力して実行します。

sph2cart -d;

sph2cartダイアログで下図のように設定して、OKをクリックします。XYZに対し新しい3列のデータが出力されます。
出力されたXYZデータを選択して、メニューから作図：3D：3D散布図を選択して作図します。シンボルサイズを0に設定し、シンボルを線で接続し、OKをクリックします。
スケールや遠近法等を調節すると、最終的なグラフは以下のようになります。