工程能力分析のアルゴリズム

正規工程能力分析

標準偏差の推定

正規分布前提の能力分析では、サブグループ内と全体の標準偏差を推定します。

サブグループ内標準偏差 ()
サブグループサイズ（1より大きい場合、または1に等しい場合）によって推定方法が異なります。
- サブグループサイズ > 1 の場合
  - サブグループ範囲の平均 (Rbar)
    $\sigma_{within}=S_r=\frac{\sum_{i=1}^N\frac{f_ir_i}{d_2(n_i)}}{\sum_{i=1}^Nf_i}$ 、ここで $f_i = \frac{(d_2(n_i))^2}{(d_3(n_i))^2}$
    
    $N$ : サブグループの数
    
    $r_i$ : 第 $ith$ サブグループの範囲 $r_i=\max(ith\_subgroup\_observations)-\min(ith\_subgroup\_observations)$
    
    $n_i$ : 第 $ith$ サブグループの観測数
    
    $d_2(n_i), d_3(n_i)$ : 無偏定数 $d2(), d3()$
  - サブグループ標準偏差の平均 (Sbar)
    無偏推定 $\sigma_{within}=\bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^N\frac{h_iS_i}{c_4(n_i)}}{\sum_{i=1}^Nh_i}$ 、ここで $h_i=\frac{(c_4(n_i))^2}{1-(c_4(n_i))^2}$
    
    無偏定数を使用しない場合： $\sigma_{within}=\frac{\sum_{i=1}^NS_i}{N}$
    
    $N$ : サブグループの数
    
    $S_i$ : 第 $ith$ サブグループの標準偏差
    
    $n_i$ : 第 $ith$ サブグループの観測数
    
    $c_4(n_i)$ : 無偏定数 $c4()$
  - プールされた標準偏差
    無偏推定 $\sigma_{within}=\frac{S_p}{c_4(d+1)}$ , ここで $S_p=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2}{\sum_{i=1}^N(n_i-1)}}$ , $c_4(d+1)=\frac{\Gamma{(\frac{d+1}{2})}}{\Gamma{(\frac{d}{2})}}\sqrt{\frac{2}{d}}$
    
    無偏定数を使用しない場合、 $\sigma_{within}=S_p$
    
    $N$ : サブグループの数
    
    $n_i$ : 第 $ith$ サブグループの観測数
    
    $X_{ij}$ : 第 $ith$ サブグループの第 $jth$ 観測値
    
    $\bar{X_i}$ : 第 $ith$ サブグループの平均値
    
    $d$ : $S_p, d=\sum_{i=1}^N(n_i-1)$ の自由度
    
    $c_4(d+1)$ : 無偏定数 $c4()$
    
    $\Gamma()$ : ガンマ関数
- サブグループサイズ = 1の場合
  - 移動範囲の平均
    $\sigma_{within}=\frac{R_w+\cdots+R_N}{(N-w+1)d_2(w)}$
    
    $N$ : すべての観測値の数
    
    $w$ : 移動範囲に使用する観測数
    
    $R_i$ : 第 $ith$ 移動範囲 $R_i=\max{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}-\min{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}, i=w,\cdots,N$ 、および $X_i$ は第 $ith$ 観測値
    
    $d_2(w)$ : 無偏定数 $d2()$
  - 移動範囲の中央値
    $\sigma_{within}=\frac{\overline{MR}}{d_4(w)}$
    
    $N$ : すべての観測値の数
    
    $w$ : 移動範囲に使用する観測数
    
    $MR_i$ : 第 $ith$ 移動範囲 $MR_i=\max{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}-\min{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}, i=w,\cdots,N$ 、および $X_i$ は第 $ith$ 観測値
    
    $\overline{MR}$ : $MR_i, i=w,\cdots,N$ の中央値
    
    $d_4(w)$ : 無偏定数 $d4()$
  - 二乗連続差分（MSSD）の平方根
    無偏推定 $\sigma_{within}=MSSD=\frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N-1}d_i^2}{2(N-1)}}}{c_4'(N)}$
    
    無偏定数を使用しない場合、 $\sigma_{within}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N-1}d_i^2}{2(N-1)}}$
    
    $N$ : 観測値の数
    
    $d_i$ : 観測値間の連続差分
    
    $c_4'(N)$ : 無偏定数 $c4'()$

全体標準偏差 ( $\sigma_{overall}$ )
無偏推定 $\sigma_{overall}=\frac{S}{c_4(N)}$ 、ここで $S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_{i}-\bar{X})^2}{N-1}}$

無偏定数を使用しない場合、 $\sigma_{within}=S$

$N$ : すべての観察値の数

$X_{i}$ : 第 $ith$ 観測値

$\bar{X}$ : すべての観測値の平均

$c_4(N)$ : 無偏定数 $c4()$

潜在工程能力

Cp
$Cp=\frac{USL-LSL}{Toler*\sigma_{within}}$

$USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$ : サブグループ内標準偏差

CPの信頼区間の境界
$LowerBound = Cp\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}$

$LowerBound = Cp\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}$

$\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$ : 自由度

$\chi_{\alpha,\nu}$ : 自由度の $\nu$ カイ二乗分布における $\alpha$ パーセンタイル値
標準偏差の推定方法に応じたの計算方法
- サブグループ範囲の平均 (Rbar): $\nu=0.9k(n-1)$
- サブグループ標準偏差の平均 (Sbar): $\nu=f_nk(n-1)$
- プールされた標準偏差: $\nu=\sum(n_i-1)$
- 移動範囲の平均または中央値: $\nu\approx k-R_{span}+1$
- MSSDの平方根： $\nu=k-1$
  ここで、 $n_i$ は第 $ith$ サブグループのサイズ、 $k$ はサブグループの数、 $R_{span}$ は移動範囲のスパンの長さ、 $n$ はサブグループサイズの平均（ $n=\frac{\sum n_i}{k}$ ）、 $f_n$ は $n$ に応じて以下のように設定

n	2	3	4	5	6.7	8.9	10-17	18-64	> 64
$f_n$	0.88	0.92	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99	1

CPL
$CPL=\frac{\bar{X}-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}}$

$\bar{X}$ : 観測データまたは過去の値から推定されたプロセス平均

$LSL$ : 下側規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$ : サブグループ内標準偏差

CPU
$CPU=\frac{USL-\bar{X}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}}$

$\bar{X}$ : 観測データまたは過去の値から推定されたプロセス平均

$USL$ : 上側規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$ : サブグループ内標準偏差

Cpk
$Cpk=\min(CPU, CPL)$

CPkの $(1-\alpha)100\%$ 信頼区間の境界
$LowerBound = Cpk - Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2}+\frac{Cpk^2}{2\nu}}$

$UpperBound = Cpk + Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2}+\frac{Cpk^2}{2\nu}}$

$N$ : 観測値の総数

$\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$ : 自由度（詳細は上記 $(1-\alpha)100\%$ 信頼区間におけるCpを参照）

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$Z_{1-\alpha/2}$ : 標準正規分布における $1-\alpha/2$ パーセンタイル値

CCpk
$CCpk=\left\{\begin{array}{ll}\frac{USL-\hat{\mu}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Only\;USL\;Valid\cr\frac{\hat{\mu}-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Only\;LSL\;Valid\cr\frac{\min{(USL-\hat{\mu}, \hat{\mu}-LSL)}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Both\;USL\;and\;LSL\;Valid\end{array}\right.$

$\hat{\mu}$ :推定平均値、 $\hat{\mu} = \left\{\begin{array}{ll}Target & Target\;is\;specified\cr\frac{USL+LSL}{2}&USL\;and\;LSL\;Valid,Target\;is\;not\;specified\cr \bar{X}&Otherwise\end{array}\right.$

$USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$ : サブグループ内標準偏差

$\bar{X}$ : 観測値の平均

工程能力（全体）

Pp
$Pp = \frac{USL-LSL}{Toler*\sigma_{overall}}$

$USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$ : 全体標準偏差

PPの $(1-\alpha)100\%$ 信頼区間の境界
$LowerBound = Pp\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}$

$UpperBound = Pp\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}$

$\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$ : 自由度 $\nu=N-1$

$N$ : 観測値の数

$\chi_{\alpha, \nu}^2$ : 自由度の $\nu$ カイ二乗分布における $\alpha$ パーセンタイル値

PPL
$PPL = \frac{\bar{X}-LSL}{(Toler/2)*\sigma_{overall}}$

$\bar{X}$ : プロセス平均（過去の値または観測データから算出）

$LSL$ : 下側規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$ : 全体標準偏差

PPU
$PPU = \frac{USL-\bar{X}}{(Toler/2)*\sigma_{overall}}$

$\bar{X}$ : プロセス平均（過去の値または観測データから算出）

$USL$ : 上側規格限界

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$ : 全体標準偏差

Ppk
$Ppk = \min(PPU, PPL)$

Ppkの $(1-\alpha)100\%$ 信頼区間の境界
$LowerBound = Ppk - Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2} + \frac{Ppk^2}{2\nu}}$

$UpperBound = Ppk + Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2} + \frac{Ppk^2}{2\nu}}$

$N$ : 観測値の数

$\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$ : 自由度 $\nu=N-1$

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$Z_{1-\alpha/2}$ : 標準正規分布における $1-\alpha/2$ パーセンタイル値

Cpm
$Target$ が指定されている場合、 $USL, LSL$ および $Target$ を使ってCpmを計算できます。

$Cpm = \left\{\begin{array}{ll}\frac{USL-LSL}{Toler*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&USL,LSL\;Valid\;and\;Target=m\cr\frac{\min(Target-LSL, USL-Target)}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&USL,LSL\;Valid\;and\;Target\neq m\cr\frac{USL-Target}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&Only\;USL\;and\;Target\;Valid\cr\frac{Target-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&Only\;LSL\;and\;Target\;Valid\cr NANUM &Otherwise\end{array}\right.$

$USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界

$Target$ : 目標値

$Toler$ : シグマ許容範囲の倍率

$m$ : $USL$ と $LSL$ の中点

$n_i$ : 第 $ith$ サブグループの観測数

$X_{ij}$ : 第 $ith$ サブグループの第 $jth$ 観測値

$K$ : サブグループの数

$NANUM$ : 欠損値

Cpmの信頼区間の境界
- 両側
  $LowerBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2, \nu}^2}{\nu}}$
  
  $UpperBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2, \nu}^2}{\nu}}$
- 片側
  $LowerBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{\alpha, \nu}^2}{\nu}}$
  
  $\nu$ :自由度、 $\nu = \frac{N((1+a^2)^2}{1+2a^2}$ ここで、 $a = (Mean-Target)/\sigma_{overall}$ および $N$ は観測値の数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\chi_{\alpha,\nu}^2$ : 自由度 $\nu$ のカイ二乗分布における $\alpha$ パーセンタイル値 $\alpha$

潜在工程能力に対するベンチマークZ

Z.LSL、Z.USL、Z.Bench
$Z.LSL = \frac{\bar{X}-LSL}{\sigma_{within}}$

$Z.USL = \frac{USL-\bar{X}}{\sigma_{within}}$

$Z.Bench = \Phi^{-1}(1-P_1-P_2)$

$\bar{X}$ :プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$LSL, USL$ : 下側および上側規格限界

$P_1=Prob(X<LSL)=1-\Phi(Z.LSL)$

$P_2=Prob(X>USL)=1-\Phi(Z.USL)$

$\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数

$\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数

$\sigma_{within}$ : サブグループ内標準偏差

規格限界が二つある場合のZ.Benchの信頼区間
- 両側
  $LowerBound = -\Phi^{-1}(U)$
  
  $UpperBound = -\Phi^{-1}(L)$
  
  ここで
  
  $L=\frac{\exp(L(p)-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}{1+\exp(L(p)-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}$
  
  $U=\frac{\exp(L(p)+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}{1+\exp(L(p)+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}$
  
  $L(p)=\ln(p/(1-p))$
  
  $p=\left(1-\Phi(\frac{\bar{X}-LSL}{s})\right)+\left(1-\Phi(\frac{USL-\bar{X}}{s})\right)$
  
  $V=V(p)=\left(\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\mu}}\right)^2\frac{\sigma^2}{N}+\left(\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\sigma^2}}\right)^2\frac{2\sigma^4}{\nu}$
  
  $\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\mu}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{\partial{p}}{\partial{\mu}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{1}{\sigma}\left(\varphi(\frac{USL-\mu}{\sigma})-\varphi(\frac{LSL-\mu}{\sigma})\right)$
  
  $\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\sigma^2}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{\partial{p}}{\partial{\sigma^2}}=\frac{1}{2p(1-p)}\left(\frac{USL-\mu}{\sigma^3}\varphi(\frac{USL-\mu}{\sigma})-\frac{LSL-\mu}{\sigma^3}\varphi(\frac{LSL-\mu}{\sigma})\right)$
  
  $\sigma=s, \mu=\bar{X}$
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $p$ : 規格限界外の累積確率
  
  $Z_{1-\alpha/2}$ : 標準正規分布における $(1-\alpha/2)^{th}$ パーセンタイル
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\bar{X}$ : プロセス平均（データから推定または履歴平均）
  
  $LSL, USL$ : 下側および上側規格限界
  
  $s$ : サブグループ内標準偏差
  
  $\nu$ : $s$ の自由度
  
  $\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数
  
  $\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $\varphi(X)$ :標準正規分布の確率密度関数
- 片側
  上記の「両側信頼区間」の定義において、 $1-\alpha/2$ を $1-\alpha$ に変更して、 $UpperBound$ の $L$ を計算します。

規格限界が一方のみの場合の Z.Bench の信頼区間
- 下側規格限界と両側信頼区間
  $LowerBound=Z.LSL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}$
  
  $UpperBound=Z.LSL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}$
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $Z_{1-\alpha/2}$ : 標準正規分布における $(1-\alpha/2)^{th}$ パーセンタイル
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
- 下側規格限界と片側信頼区間
  $LowerBound = -\Phi^{-1}(p_1)$
  
  $p_1$ : 方程式の根: $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_1))\le\sqrt{N}Z.LSL\right)=1-\alpha$
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$ : 自由度 $\nu$ 、非心度 $\delta$ をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$ : 非心t分布の累積分布関数
- 上側規格限界と両側信頼区間
  $LowerBound=Z.USL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}$
  
  $UpperBound=Z.USL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}$
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $Z_{1-\alpha/2}$ : 標準正規分布における $(1-\alpha/2)^{th}$ パーセンタイル
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
- 仕様上限と片側
  $LowerBound = -\Phi^{-1}(p_2)$
  
  $p_2$ : 方程式の根: $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_2))\le\sqrt{N}Z.USL\right)=1-\alpha$
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$ : 自由度 $\nu$ 、非心度 $\delta$ をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$ : 非心t分布の累積分布関数

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

全体能力に対するベンチマークZの計算は、潜在能力の場合とほぼ同様ですが、 $\sigma_{within}$ を $\sigma_{overall}$ に置き換えて計算します。詳細については、潜在工程能力に対するベンチマークZを参照してください。

期待される工程内パフォーマンス

PPM < LSL および % < LSL
下側規格限界（LSL）未満のパーツ・パー・ミリオン（PPM < LSL）および割合（% < LSL）は、次の確率に基づいて計算されます。

$P(X < LSL)=1-\Phi(\frac{\bar{X}-LSL}{s})$

$LSL$ : 下側規格限界

$\bar{X}$ : プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$s$ : サブグループ内標準偏差

$\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数

$PPM\;<\;LSL$ と $\%\;<\;LSL$ は以下のように求められます。

$[PPM\;<\;LSL] = 1000000\cdot P(X<LSL)$

$[\%\;<\;LSL] = 100\cdot P(X<LSL)$
PPM < LSLおよび % < LSLの信頼区間
- 両側
  $P(X < LSL)$ の信頼区間は次の式で求められます。
  
  $LowerBound=1-\Phi(U)$
  
  $UpperBound = 1-\Phi(L)$
  
  $U=Z.LSL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}$
  
  $L=Z.LSL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}$
  
  $\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数
  
  $N$ : 観測値の数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応するアルファ
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $Z_{1-\alpha/2}$ :標準正規分布の $(1 - \alpha/2)_{th}$ パーセンタイル
  
  これにより以下を計算します。
  
  $LowerBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot LowerBound$
  
  $UpperBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot UpperBound$
  
  $LowerBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot LowerBound$
  
  $UpperBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot UpperBound$
- 片側
  $UpperBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot p_1$
  
  $UpperBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot p_1$
  
  ここで、 $p_1$ は $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_1))\le\sqrt{N}Z.LSL\right)=1-\alpha$ の方程式の根です。
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$ : 自由度 $\nu$ 、非心度 $\delta$ をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$ : 非心t分布の累積分布関数
PPM > USLおよび % > USL
上側規格限界（USL）より大きいパーツ・パー・ミリオン（PPM > USL）および割合（% > USL）は、次の確率に基づいて計算されます。

$P(X > USL)=1-\Phi(\frac{USL-\bar{X}}{s})$

$USL$ : 上側規格限界

$\bar{X}$ : プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$s$ : サブグループ内標準偏差

$\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数

$PPM\;>\;USL$ と $\%\;>\;USL$ は以下のように求められます。

$[PPM\;>\;USL] = 1000000\cdot P(X>USL)$

$[\%\;>\;USL] = 100\cdot P(X>USL)$
Confidence Intervals for PPM > USL and % > USL
- 両側
  $P(X > USL)$ の信頼区間は次の式で求められます。
  
  $LowerBound=1-\Phi(U)$
  
  $UpperBound = 1-\Phi(L)$
  
  $U=Z.USL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}$
  
  $L=Z.USL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}$
  
  $\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数
  
  $N$ : 観測値の数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応するアルファ
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $Z_{1-\alpha/2}$ :標準正規分布の $(1 - \alpha/2)^{th}$ パーセンタイル
  
  これにより以下を計算します。
  
  $LowerBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot LowerBound$
  
  $UpperBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot UpperBound$
  
  $LowerBound(\%\;>\;USL)=100\cdot LowerBound$
  
  $UpperBound(\%\;>\;USL)=100\cdot UpperBound$
- 片側
  $UpperBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot p_2$
  
  $UpperBound(\%\;>\;USL)=100\cdot p_2$
  
  ここで、 $p_2$ は $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_2))\le\sqrt{N}Z.USL\right)=1-\alpha$ の方程式の根です。
  
  $N$ : 観測値の総数
  
  $\alpha$ : 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$ :標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$ : 自由度 $\nu$ 、非心度 $\delta$ をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$ : 非心t分布の累積分布関数
PPM総数および%総数
規格限界を外れたパーツ・パー・ミリオン（PPM総数）は次の式で計算されます。

$[PPM\;<\;LSL]+[PPM\;>\;USL]$ または $[\%\;<\;LSL]+[\%\;>\;USL]$
上下両方の規格限界がある場合のPPM総数および%総数の信頼区間
- 両側
  $UpperBound(PPM\;Total)=1000000\cdot U$ または $UpperBound(\%\;Total)=100\cdot U$
  
  $LowerBound(PPM\;Total)=1000000\cdot L$ または $LowerBound(\%\;Total)=100\cdot L$
  
  $U$ とL $L$ の計算については、潜在工程能力に対するベンチマークZの説明を参照してください。
- 片側
  $UpperBound(PPM\;Total)=1000000\cdot U$ または $UpperBound(\%\;Total)=100\cdot U$
  
  ここでは、 $U$ は両面と同じ方法を使用して計算されますが、 $\alpha/2$ を $\alpha$ に置き換えます。
規格限界が一方のみ（下限のみまたは上限のみ）の場合のPPM総数および%総数の信頼区間
- 下側規格限界のみ
  PPM < LSLまたは% < LSLの信頼区間の計算方法と同様に求めます。
- 上側規格限界のみ
  PPM > USLまたは% > USLの信頼区間の計算方法と同様に求めます。

期待される全体パフォーマンス

期待される全体パフォーマンスの計算手順は、工程内パフォーマンスの計算手順とほぼ同様ですが、サブグループ内標準偏差の代わりに全体標準偏差を使用して計算します。詳細は、期待される工程内パフォーマンスを参照してください。

観測パフォーマンス

観測パフォーマンスのPPM < LSL
$[PPM\;<\;LSL(Observed)]=\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;<\;LSL)}{N}$ 、ここで $LSL$ は下側規格限界、 $N$ は観測値の総数です。
PPM > USL（観測パフォーマンス）
$[PPM\;>\;USL(Observed)]=\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;>\;USL)}{N}$ 、ここで $USL$ は上側規格限界、 $N$ は観測値の総数です。
観測パフォーマンスのPPM総数
$[PPM\;Total]=[PPM\;<\;LSL(Observed)]+[PPM\;>\;USL(Observed)] = \frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;<\;LSL)}{N}+\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;>\;USL)}{N}$ 、ここで $LSL$ は下側規格限界、 $USL$ は上側規格限界、 $N$ は観測値の総数です。

サブグループ間/内の工程能力分析

標準偏差の推定

サブグループ内標準偏差 ( $\sigma_{within}$ )
プールされた標準偏差、サブグループ範囲の平均、サブグループ標準偏差の平均についての詳細は、標準偏差の推定を参照してください。
サブグループ間標準偏差 ( $\sigma_{between}$ )
$\sigma_{between} = \max\left(0, \sqrt{\sigma_{xbar}^2-\frac{\sigma_{within}^2}{SubgroupSize}}\right)$

$\sigma_{xbar}$ は移動範囲の平均、移動範囲の中央値、または二乗連続差分（MSSD）の平方根により計算されます。詳細は、標準偏差の推定を参照してください。
工程間/内標準偏差 ( $\sigma_{b/w}$ )
$\sigma_{b/w}=\sqrt{\sigma_{within}^2+\sigma_{between}^2}$
全体標準偏差 ( $\sigma_{overall}$ )
標準偏差の推定の全体標準偏差の項を参照してください。

サブグループ間/内の工程能力

Cp、CPL、CPU、Cpk、CCpkの計算については潜在工程能力を参照してください。違いは $\sigma_{within}$ を $\sigma_{b/w}$ に置き換わることです。また、CPの信頼区間の式の $\nu$ の計算も異なります。ここでは、 $\nu$ は次の式で計算されます。

$\nu=\frac{\left(\frac{MS_B+(m-1)MS_E}{m}\right)^2}{\frac{(m-1)^2}{m^2}\frac{MS_E^2}{df_E}+\frac{1}{m^2}\frac{MS_B^2}{df_B}}$

$MS_B=\frac{\sum_{i=1}^Ln_i(\bar{X_i}-\bar{X})^2}{df_B}$

$MS_E=\frac{\sum_{i=1}^L\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X_i})^2}{df_E}$

$m = \frac{N^2-\sum_{i=1}^Ln_i^2}{N(L-1)}$

$df_E=\sum_{i=1}^L(n_i-1)$

$df_B=L-1$

$N$ : 観測値の総数

$L$ : サブグループの数

$n_i$ : 第 $i^{th}$ サブグループのサイズ

$\bar{X}$ : すべてのサブグループの平均

$\bar{X_i}$ : 第 $i^{th}$ サブグループの平均

$X_{ij}$ : 第 $i^{th}$ サブグループの第 $j^{th}$ 観測値

工程能力（全体）

全体能力についての詳細は、工程能力（全体）のセクションを参照してください。

間/内工程能力に対するベンチマークZ

工程間/内能力に対するベンチマークZの計算は、潜在能力の場合とほぼ同様ですが、 $\sigma_{within}$ を $\sigma_{b/w}$ に置き換えて計算します。詳細については、潜在工程能力に対するベンチマークZを参照してください。

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

期待される工程間/内パフォーマンス

工程間/内能力に対する期待パフォーマンスの計算は、工程内パフォーマンスとほぼ同様ですが、 $\sigma_{within}$ を $\sigma_{b/w}$ に置き換えて計算します。詳細は工程内における期待パフォーマンスを参照してください。ただし、以下の信頼区間の計算は異なります。

PPM < LSLおよび % < LSLの信頼区間
- 片側
  $LowerBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot p_1$
  
  $LowerBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot p_1$
Confidence Intervals for PPM > USL and % > USL
- 片側
  $LowerBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot p_2$
  
  $LowerBound(\%\;>\;USL)=100\cdot p_2$

期待される全体パフォーマンス

観測パフォーマンス

詳細は、観測パフォーマンスを参照してください。

非正規工程能力分析

工程能力（全体）

Pp: Ppは、使用している分布のパラメータに基づいて計算されます。PPの計算にはZスコア法とISO法の2つの方法を用いられます。
- Zスコア法
  $Pp = \frac{Z_{usl}-Z_{lsl}}{6}$
  
  $Z_{usl}=\Phi^{-1}(p_2), Z_{lsl}=\Phi^{-1}(p_1)$
  
  $\Phi^{-1}(p)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数（ $p*100^{th}$ パーセンタイルに対応）
  
  $p_1=Prob(X\le LSL), p_2=Prob(X\le USL)$ : 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界
- ISO法
  $Pp = \frac{USL-LSL}{X_{0.99865}-X_{0.00135}}$
  
  $USL, LSL$ : それぞれ上側および下側の規格限界
  
  $X_{0.99865}, X_{0.00135}$ : 使用している分布の $99.865^{th},0.135^{th}$ パーセンタイルの値
PPL
- Zスコア法
  $PPL= \frac{-\Phi^{-1}(p_1)}{3}$
  
  $\Phi^{-1}(p)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数（ $p*100^{th}$ パーセンタイルに対応）
  
  $p_1=Prob(X\le LSL)$ : 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $LSL$ : 下側規格限界
- ISO法
  $PPL = \frac{X_{0.5}-LSL}{X_{0.5}-X_{0.00135}}$
  
  $LSL$ : 下側規格限界
  
  $X_{0.5}, X_{0.00135}$ : 使用している分布の $50^{th},0.135^{th}$ パーセンタイルの値
PPU
- Zスコア法
  $PPU= \frac{\Phi^{-1}(p_2)}{3}$
  
  $\Phi^{-1}(p)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数（ $p*100^{th}$ パーセンタイルに対応）
  
  $p_2=Prob(X\le USL)$ : 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $USL$ : 上側規格限界
- ISO法
  $PPU = \frac{USL-X_{0.5}}{X_{0.99865}-X_{0.5}}$
  
  $LSL$ : 下側規格限界
  
  $X_{0.99865}, X_{0.5}$ : 使用している分布の $99.865^{th},50^{th}$ パーセンタイルの値
Ppk
$Ppk = \min(PPU, PPL)$

非正規工程能力の全体ベンチマークZ

Z.LSL、Z.USL、Z.Bench
$Z.LSL = 3*PPL$

$Z.USL = 3*PPU$

$Z.Bench = \Phi^{-1}(1-P_1-P_2)$

$P_1=Prob(X<LSL)$ : 使用している分布に基づく累積分布関数の値、X < LSLとなる確率（非正規分布に基づく）

$P_2=Prob(X>USL)$ : 使用している分布に基づく累積分布関数の値、X > USLとなる確率（非正規分布に基づく）

$\Phi(X)$ : 標準正規分布の累積分布関数

$\Phi^{-1}(X)$ : 標準正規分布の逆累積分布関数

期待される全体パフォーマンス

PPM < LSL
下側規格限界（LSL）未満のパーツ・パー・ミリオン（PPM < LSL）は、次の確率から計算されます。

$[PPM\;<\;LSL]=1000000*F(LSL)$

$PPM$ : パーツ・パー・ミリオン

$LSL$ : 下側規格限界

$F(X)$ : 使用している非正規分布の累積分布関数
PPM>USL
上側規格限界（USL）より大きいパーツ・パー・ミリオン（PPM > USL）は、次の確率から計算されます。

$[PPM\;>\;USL]=1000000*(1-F(USL))$

$PPM$ : パーツ・パー・ミリオン

$USL$ : 上側規格限界

$F(X)$ : 使用している非正規分布の累積分布関数
PPM合計
$[PPM\;Total] = [PPM\;<\;LSL] + [PPM\;>\;USL]$