工程能力分析のアルゴリズム

正規工程能力分析

標準偏差の推定

正規分布前提の能力分析では、サブグループ内と全体の標準偏差を推定します。

サブグループ内標準偏差 ($\sigma_{within}$)
サブグループサイズ（1より大きい場合、または1に等しい場合）によって推定方法が異なります。
- サブグループサイズ > 1 の場合
  - サブグループ範囲の平均 (Rbar)
    $\sigma_{within}=S_r=\frac{\sum_{i=1}^N\frac{f_ir_i}{d_2(n_i)}}{\sum_{i=1}^Nf_i}$、ここで$f_i = \frac{(d_2(n_i))^2}{(d_3(n_i))^2}$
    
    $N$: サブグループの数
    
    $r_i$: 第$ith$サブグループの範囲 $r_i=\max(ith\_subgroup\_observations)-\min(ith\_subgroup\_observations)$
    
    $n_i$: 第$ith$サブグループの観測数
    
    $d_2(n_i), d_3(n_i)$: 無偏定数 $d2(), d3()$
  - サブグループ標準偏差の平均 (Sbar)
    無偏推定$\sigma_{within}=\bar{S}=\frac{\sum_{i=1}^N\frac{h_iS_i}{c_4(n_i)}}{\sum_{i=1}^Nh_i}$、ここで$h_i=\frac{(c_4(n_i))^2}{1-(c_4(n_i))^2}$
    
    無偏定数を使用しない場合：$\sigma_{within}=\frac{\sum_{i=1}^NS_i}{N}$
    
    $N$: サブグループの数
    
    $S_i$: 第$ith$サブグループの標準偏差
    
    $n_i$: 第$ith$サブグループの観測数
    
    $c_4(n_i)$: 無偏定数 $c4()$
  - プールされた標準偏差
    無偏推定 $\sigma_{within}=\frac{S_p}{c_4(d+1)}$, ここで $S_p=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2}{\sum_{i=1}^N(n_i-1)}}$, $c_4(d+1)=\frac{\Gamma{(\frac{d+1}{2})}}{\Gamma{(\frac{d}{2})}}\sqrt{\frac{2}{d}}$
    
    無偏定数を使用しない場合、$\sigma_{within}=S_p$
    
    $N$: サブグループの数
    
    $n_i$: 第$ith$サブグループの観測数
    
    $X_{ij}$: 第$ith$サブグループの第$jth$観測値
    
    $\bar{X_i}$: 第$ith$サブグループの平均値
    
    $d$: $S_p, d=\sum_{i=1}^N(n_i-1)$の自由度
    
    $c_4(d+1)$: 無偏定数 $c4()$
    
    $\Gamma()$: ガンマ関数
- サブグループサイズ = 1の場合
  - 移動範囲の平均
    \[\sigma_{within}=\frac{R_w+\cdots+R_N}{(N-w+1)d_2(w)}\]
    
    $N$: すべての観測値の数
    
    $w$: 移動範囲に使用する観測数
    
    $R_i$: 第$ith$移動範囲$R_i=\max{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}-\min{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}, i=w,\cdots,N$、および$X_i$は第$ith$観測値
    
    $d_2(w)$: 無偏定数 $d2()$
  - 移動範囲の中央値
    \[\sigma_{within}=\frac{\overline{MR}}{d_4(w)}\]
    
    $N$: すべての観測値の数
    
    $w$: 移動範囲に使用する観測数
    
    $MR_i$: 第$ith$移動範囲$MR_i=\max{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}-\min{(X_i,\cdots,X_{i-w+1})}, i=w,\cdots,N$、および$X_i$は第$ith$観測値
    
    $\overline{MR}$: $MR_i, i=w,\cdots,N$の中央値
    
    $d_4(w)$: 無偏定数 $d4()$
  - 二乗連続差分（MSSD）の平方根
    無偏推定 $\sigma_{within}=MSSD=\frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N-1}d_i^2}{2(N-1)}}}{c_4'(N)}$
    
    無偏定数を使用しない場合、$\sigma_{within}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N-1}d_i^2}{2(N-1)}}$
    
    $N$: 観測値の数
    
    $d_i$: 観測値間の連続差分
    
    $c_4'(N)$: 無偏定数 $c4'()$

全体標準偏差 ($\sigma_{overall}$)
無偏推定$\sigma_{overall}=\frac{S}{c_4(N)}$、ここで$S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_{i}-\bar{X})^2}{N-1}}$

無偏定数を使用しない場合、$\sigma_{within}=S$

$N$: すべての観察値の数

$X_{i}$: 第$ith$観測値

$\bar{X}$: すべての観測値の平均

$c_4(N)$: 無偏定数 $c4()$

潜在工程能力

Cp
\[Cp=\frac{USL-LSL}{Toler*\sigma_{within}}\]

$USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$: サブグループ内標準偏差

CPの$(1-\alpha)100\%$信頼区間の境界
\[LowerBound = Cp\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}\]

\[LowerBound = Cp\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}\]

$\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$: 自由度

$\chi_{\alpha,\nu}$: 自由度の$\nu$カイ二乗分布における$\alpha$パーセンタイル値
標準偏差の推定方法に応じた$\nu$の計算方法
- サブグループ範囲の平均 (Rbar): $\nu=0.9k(n-1)$
- サブグループ標準偏差の平均 (Sbar): $\nu=f_nk(n-1)$
- プールされた標準偏差: $\nu=\sum(n_i-1)$
- 移動範囲の平均または中央値: $\nu\approx k-R_{span}+1$
- MSSDの平方根：$\nu=k-1$
  ここで、$n_i$は第$ith$サブグループのサイズ、$k$はサブグループの数、$R_{span}$は移動範囲のスパンの長さ、$n$はサブグループサイズの平均（$n=\frac{\sum n_i}{k}$）、$f_n$は$n$に応じて以下のように設定

n	2	3	4	5	6.7	8.9	10-17	18-64	> 64
\[f_n\]	0.88	0.92	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99	1

CPL
\[CPL=\frac{\bar{X}-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}}\]

$\bar{X}$: 観測データまたは過去の値から推定されたプロセス平均

$LSL$: 下側規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$: サブグループ内標準偏差

CPU
\[CPU=\frac{USL-\bar{X}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}}\]

$\bar{X}$: 観測データまたは過去の値から推定されたプロセス平均

$USL$: 上側規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$: サブグループ内標準偏差

Cpk
\[Cpk=\min(CPU, CPL)\]

CPkの$(1-\alpha)100\%$信頼区間の境界
\[LowerBound = Cpk - Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2}+\frac{Cpk^2}{2\nu}}\]

\[UpperBound = Cpk + Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2}+\frac{Cpk^2}{2\nu}}\]

$N$: 観測値の総数

$\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$: 自由度（詳細は上記$(1-\alpha)100\%$信頼区間におけるCpを参照）

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$Z_{1-\alpha/2}$: 標準正規分布における$1-\alpha/2$ パーセンタイル値

CCpk
\[CCpk=\left\{\begin{array}{ll}\frac{USL-\hat{\mu}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Only\;USL\;Valid\cr\frac{\hat{\mu}-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Only\;LSL\;Valid\cr\frac{\min{(USL-\hat{\mu}, \hat{\mu}-LSL)}}{\frac{Toler}{2}*\sigma_{within}} &Both\;USL\;and\;LSL\;Valid\end{array}\right.\]

$\hat{\mu}$:推定平均値、$\hat{\mu} = \left\{\begin{array}{ll}Target & Target\;is\;specified\cr\frac{USL+LSL}{2}&USL\;and\;LSL\;Valid,Target\;is\;not\;specified\cr \bar{X}&Otherwise\end{array}\right.$

$USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{within}$: サブグループ内標準偏差

$\bar{X}$: 観測値の平均

工程能力（全体）

Pp
\[Pp = \frac{USL-LSL}{Toler*\sigma_{overall}}\]

$USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$: 全体標準偏差

PPの$(1-\alpha)100\%$信頼区間の境界
\[LowerBound = Pp\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}\]

\[UpperBound = Pp\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2,\nu}^2}{\nu}}\]

$\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$: 自由度 $\nu=N-1$

$N$: 観測値の数

$\chi_{\alpha, \nu}^2$: 自由度の$\nu$カイ二乗分布における$\alpha$パーセンタイル値

PPL
\[PPL = \frac{\bar{X}-LSL}{(Toler/2)*\sigma_{overall}}\]

$\bar{X}$: プロセス平均（過去の値または観測データから算出）

$LSL$: 下側規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$: 全体標準偏差

PPU
\[PPU = \frac{USL-\bar{X}}{(Toler/2)*\sigma_{overall}}\]

$\bar{X}$: プロセス平均（過去の値または観測データから算出）

$USL$: 上側規格限界

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$\sigma_{overall}$: 全体標準偏差

Ppk
\[Ppk = \min(PPU, PPL)\]

Ppkの$(1-\alpha)100\%$信頼区間の境界
\[LowerBound = Ppk - Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2} + \frac{Ppk^2}{2\nu}}\]

\[UpperBound = Ppk + Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N(\frac{Toler}{2})^2} + \frac{Ppk^2}{2\nu}}\]

$N$: 観測値の数

$\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準

$\nu$: 自由度 $\nu=N-1$

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$Z_{1-\alpha/2}$: 標準正規分布における$1-\alpha/2$ パーセンタイル値

Cpm
$Target$が指定されている場合、$USL, LSL$ および $Target$を使ってCpmを計算できます。

\[Cpm = \left\{\begin{array}{ll}\frac{USL-LSL}{Toler*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&USL,LSL\;Valid\;and\;Target=m\cr\frac{\min(Target-LSL, USL-Target)}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&USL,LSL\;Valid\;and\;Target\neq m\cr\frac{USL-Target}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&Only\;USL\;and\;Target\;Valid\cr\frac{Target-LSL}{\frac{Toler}{2}*\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-Target)^2}{\sum_{i=1}^Kn_i}}}&Only\;LSL\;and\;Target\;Valid\cr NANUM &Otherwise\end{array}\right.\]

$USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界

$Target$: 目標値

$Toler$: シグマ許容範囲の倍率

$m$:$USL$と$LSL$の中点

$n_i$: 第$ith$サブグループの観測数

$X_{ij}$: 第$ith$サブグループの第$jth$観測値

$K$: サブグループの数

$NANUM$: 欠損値

Cpmの$(1-\alpha)100\%$信頼区間の境界
- 両側
  \[LowerBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{\alpha/2, \nu}^2}{\nu}}\]
  
  \[UpperBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{1-\alpha/2, \nu}^2}{\nu}}\]
- 片側
  \[LowerBound = Cpm\sqrt{\frac{\chi_{\alpha, \nu}^2}{\nu}}\]
  
  $\nu$:自由度、$\nu = \frac{N((1+a^2)^2}{1+2a^2}$ ここで、$a = (Mean-Target)/\sigma_{overall}$および$N$は観測値の数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\chi_{\alpha,\nu}^2$: 自由度$\nu$のカイ二乗分布における$\alpha$パーセンタイル値$\alpha$

潜在工程能力に対するベンチマークZ

Z.LSL、Z.USL、Z.Bench
\[Z.LSL = \frac{\bar{X}-LSL}{\sigma_{within}}\]

\[Z.USL = \frac{USL-\bar{X}}{\sigma_{within}}\]

\[Z.Bench = \Phi^{-1}(1-P_1-P_2)\]

$\bar{X}$:プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$LSL, USL$: 下側および上側規格限界

\[P_1=Prob(X<LSL)=1-\Phi(Z.LSL)\]

\[P_2=Prob(X>USL)=1-\Phi(Z.USL)\]

$\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数

$\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数

$\sigma_{within}$: サブグループ内標準偏差

規格限界が二つある場合のZ.Benchの信頼区間
- 両側
  \[LowerBound = -\Phi^{-1}(U)\]
  
  \[UpperBound = -\Phi^{-1}(L)\]
  
  ここで
  
  \[L=\frac{\exp(L(p)-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}{1+\exp(L(p)-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}\]
  
  \[U=\frac{\exp(L(p)+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}{1+\exp(L(p)+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{V})}\]
  
  \[L(p)=\ln(p/(1-p))\]
  
  \[p=\left(1-\Phi(\frac{\bar{X}-LSL}{s})\right)+\left(1-\Phi(\frac{USL-\bar{X}}{s})\right)\]
  
  \[V=V(p)=\left(\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\mu}}\right)^2\frac{\sigma^2}{N}+\left(\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\sigma^2}}\right)^2\frac{2\sigma^4}{\nu}\]
  
  \[\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\mu}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{\partial{p}}{\partial{\mu}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{1}{\sigma}\left(\varphi(\frac{USL-\mu}{\sigma})-\varphi(\frac{LSL-\mu}{\sigma})\right)\]
  
  \[\frac{\partial{L(p)}}{\partial{\sigma^2}}=\frac{1}{p(1-p)}\frac{\partial{p}}{\partial{\sigma^2}}=\frac{1}{2p(1-p)}\left(\frac{USL-\mu}{\sigma^3}\varphi(\frac{USL-\mu}{\sigma})-\frac{LSL-\mu}{\sigma^3}\varphi(\frac{LSL-\mu}{\sigma})\right)\]
  
  \[\sigma=s, \mu=\bar{X}\]
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $p$: 規格限界外の累積確率
  
  $Z_{1-\alpha/2}$: 標準正規分布における$(1-\alpha/2)^{th}$パーセンタイル
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\bar{X}$: プロセス平均（データから推定または履歴平均）
  
  $LSL, USL$: 下側および上側規格限界
  
  $s$: サブグループ内標準偏差
  
  $\nu$: $s$の自由度
  
  $\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数
  
  $\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $\varphi(X)$:標準正規分布の確率密度関数
- 片側
  上記の「両側信頼区間」の定義において、$1-\alpha/2$を$1-\alpha$に変更して、$UpperBound$の$L$を計算します。

規格限界が一方のみの場合の Z.Bench の信頼区間
- 下側規格限界と両側信頼区間
  \[LowerBound=Z.LSL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}\]
  
  \[UpperBound=Z.LSL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}\]
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $Z_{1-\alpha/2}$: 標準正規分布における$(1-\alpha/2)^{th}$パーセンタイル
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
- 下側規格限界と片側信頼区間
  \[LowerBound = -\Phi^{-1}(p_1)\]
  
  $p_1$: 方程式の根: $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_1))\le\sqrt{N}Z.LSL\right)=1-\alpha$
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$: 自由度$\nu$、非心度$\delta$をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$: 非心t分布の累積分布関数
- 上側規格限界と両側信頼区間
  \[LowerBound=Z.USL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}\]
  
  \[UpperBound=Z.USL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}\]
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $Z_{1-\alpha/2}$: 標準正規分布における$(1-\alpha/2)^{th}$パーセンタイル
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
- 仕様上限と片側
  \[LowerBound = -\Phi^{-1}(p_2)\]
  
  $p_2$: 方程式の根: $Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_2))\le\sqrt{N}Z.USL\right)=1-\alpha$
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$: 自由度$\nu$、非心度$\delta$をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$: 非心t分布の累積分布関数

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

全体能力に対するベンチマークZの計算は、潜在能力の場合とほぼ同様ですが、$\sigma_{within}$を$\sigma_{overall}$に置き換えて計算します。詳細については、潜在工程能力に対するベンチマークZを参照してください。

期待される工程内パフォーマンス

PPM < LSL および % < LSL
下側規格限界（LSL）未満のパーツ・パー・ミリオン（PPM < LSL）および割合（% < LSL）は、次の確率に基づいて計算されます。

\[P(X < LSL)=1-\Phi(\frac{\bar{X}-LSL}{s})\]

$LSL$: 下側規格限界

$\bar{X}$: プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$s$: サブグループ内標準偏差

$\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数

$PPM\;<\;LSL$と$\%\;<\;LSL$は以下のように求められます。

\[[PPM\;<\;LSL] = 1000000\cdot P(X<LSL)\]

\[[\%\;<\;LSL] = 100\cdot P(X<LSL)\]
PPM < LSLおよび % < LSLの信頼区間
- 両側
  $P(X < LSL)$の信頼区間は次の式で求められます。
  
  \[LowerBound=1-\Phi(U)\]
  
  \[UpperBound = 1-\Phi(L)\]
  
  \[U=Z.LSL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}\]
  
  \[L=Z.LSL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.LSL^2}{2\nu}}\]
  
  $\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数
  
  $N$: 観測値の数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応するアルファ
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $Z_{1-\alpha/2}$:標準正規分布の$(1 - \alpha/2)_{th}$パーセンタイル
  
  これにより以下を計算します。
  
  \[LowerBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot LowerBound\]
  
  \[UpperBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot UpperBound\]
  
  \[LowerBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot LowerBound\]
  
  \[UpperBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot UpperBound\]
- 片側
  \[UpperBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot p_1\]
  
  \[UpperBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot p_1\]
  
  ここで、$p_1$は$Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_1))\le\sqrt{N}Z.LSL\right)=1-\alpha$の方程式の根です。
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$: 自由度$\nu$、非心度$\delta$をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$: 非心t分布の累積分布関数
PPM > USLおよび % > USL
上側規格限界（USL）より大きいパーツ・パー・ミリオン（PPM > USL）および割合（% > USL）は、次の確率に基づいて計算されます。

\[P(X > USL)=1-\Phi(\frac{USL-\bar{X}}{s})\]

$USL$: 上側規格限界

$\bar{X}$: プロセス平均（データから推定または履歴平均）

$s$: サブグループ内標準偏差

$\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数

$PPM\;>\;USL$と$\%\;>\;USL$は以下のように求められます。

\[[PPM\;>\;USL] = 1000000\cdot P(X>USL)\]

\[[\%\;>\;USL] = 100\cdot P(X>USL)\]
Confidence Intervals for PPM > USL and % > USL
- 両側
  $P(X > USL)$の信頼区間は次の式で求められます。
  
  \[LowerBound=1-\Phi(U)\]
  
  \[UpperBound = 1-\Phi(L)\]
  
  \[U=Z.USL+Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}\]
  
  \[L=Z.USL-Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{N}+\frac{Z.USL^2}{2\nu}}\]
  
  $\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数
  
  $N$: 観測値の数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応するアルファ
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $Z_{1-\alpha/2}$:標準正規分布の$(1 - \alpha/2)^{th}$パーセンタイル
  
  これにより以下を計算します。
  
  \[LowerBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot LowerBound\]
  
  \[UpperBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot UpperBound\]
  
  \[LowerBound(\%\;>\;USL)=100\cdot LowerBound\]
  
  \[UpperBound(\%\;>\;USL)=100\cdot UpperBound\]
- 片側
  \[UpperBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot p_2\]
  
  \[UpperBound(\%\;>\;USL)=100\cdot p_2\]
  
  ここで、$p_2$は$Pr\left(T_{\nu}(-\sqrt{N}\Phi^{-1}(p_2))\le\sqrt{N}Z.USL\right)=1-\alpha$の方程式の根です。
  
  $N$: 観測値の総数
  
  $\alpha$: 信頼水準に対応する有意水準
  
  $\nu$:標準偏差の自由度
  
  $\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数
  
  $T_{\nu}(\delta)$: 自由度$\nu$、非心度$\delta$をもつ非心t分布の乱数変数
  
  $Pr(\cdot)$: 非心t分布の累積分布関数
PPM総数および%総数
規格限界を外れたパーツ・パー・ミリオン（PPM総数）は次の式で計算されます。

$[PPM\;<\;LSL]+[PPM\;>\;USL]$ または $[\%\;<\;LSL]+[\%\;>\;USL]$
上下両方の規格限界がある場合のPPM総数および%総数の信頼区間
- 両側
  $UpperBound(PPM\;Total)=1000000\cdot U$ または $UpperBound(\%\;Total)=100\cdot U$
  
  $LowerBound(PPM\;Total)=1000000\cdot L$ または $LowerBound(\%\;Total)=100\cdot L$
  
  $U$とL$L$の計算については、潜在工程能力に対するベンチマークZの説明を参照してください。
- 片側
  $UpperBound(PPM\;Total)=1000000\cdot U$ または $UpperBound(\%\;Total)=100\cdot U$
  
  ここでは、$U$は両面と同じ方法を使用して計算されますが、$\alpha/2$を$\alpha$に置き換えます。
規格限界が一方のみ（下限のみまたは上限のみ）の場合のPPM総数および%総数の信頼区間
- 下側規格限界のみ
  PPM < LSLまたは% < LSLの信頼区間の計算方法と同様に求めます。
- 上側規格限界のみ
  PPM > USLまたは% > USLの信頼区間の計算方法と同様に求めます。

期待される全体パフォーマンス

期待される全体パフォーマンスの計算手順は、工程内パフォーマンスの計算手順とほぼ同様ですが、サブグループ内標準偏差の代わりに全体標準偏差を使用して計算します。詳細は、期待される工程内パフォーマンスを参照してください。

観測パフォーマンス

観測パフォーマンスのPPM < LSL
$[PPM\;<\;LSL(Observed)]=\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;<\;LSL)}{N}$、ここで $LSL$は下側規格限界、$N$ は観測値の総数です。
PPM > USL（観測パフォーマンス）
$[PPM\;>\;USL(Observed)]=\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;>\;USL)}{N}$、ここで $USL$は上側規格限界、$N$ は観測値の総数です。
観測パフォーマンスのPPM総数
$[PPM\;Total]=[PPM\;<\;LSL(Observed)]+[PPM\;>\;USL(Observed)] = \frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;<\;LSL)}{N}+\frac{1000000\cdot(NumberOfObservations\;>\;USL)}{N}$、ここで $LSL$ は下側規格限界、$USL$ は上側規格限界、$N$ は観測値の総数です。

サブグループ間/内の工程能力分析

標準偏差の推定

サブグループ内標準偏差 ($\sigma_{within}$)
プールされた標準偏差、サブグループ範囲の平均、サブグループ標準偏差の平均についての詳細は、標準偏差の推定を参照してください。
サブグループ間標準偏差 ($\sigma_{between}$)
\[\sigma_{between} = \max\left(0, \sqrt{\sigma_{xbar}^2-\frac{\sigma_{within}^2}{SubgroupSize}}\right)\]

$\sigma_{xbar}$は移動範囲の平均、移動範囲の中央値、または二乗連続差分（MSSD）の平方根により計算されます。詳細は、標準偏差の推定を参照してください。
工程間/内標準偏差 ($\sigma_{b/w}$)
\[\sigma_{b/w}=\sqrt{\sigma_{within}^2+\sigma_{between}^2}\]
全体標準偏差 ($\sigma_{overall}$)
標準偏差の推定の全体標準偏差の項を参照してください。

サブグループ間/内の工程能力

Cp、CPL、CPU、Cpk、CCpkの計算については潜在工程能力を参照してください。違いは$\sigma_{within}$を$\sigma_{b/w}$に置き換わることです。また、CPの信頼区間の式の$\nu$の計算も異なります。ここでは、$\nu$は次の式で計算されます。

\[\nu=\frac{\left(\frac{MS_B+(m-1)MS_E}{m}\right)^2}{\frac{(m-1)^2}{m^2}\frac{MS_E^2}{df_E}+\frac{1}{m^2}\frac{MS_B^2}{df_B}}\]

\[MS_B=\frac{\sum_{i=1}^Ln_i(\bar{X_i}-\bar{X})^2}{df_B}\]

\[MS_E=\frac{\sum_{i=1}^L\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X_i})^2}{df_E}\]

\[m = \frac{N^2-\sum_{i=1}^Ln_i^2}{N(L-1)}\]

\[df_E=\sum_{i=1}^L(n_i-1)\]

\[df_B=L-1\]

$N$: 観測値の総数

$L$: サブグループの数

$n_i$: 第$i^{th}$サブグループのサイズ

$\bar{X}$: すべてのサブグループの平均

$\bar{X_i}$: 第$i^{th}$サブグループの平均

$X_{ij}$: 第$i^{th}$サブグループの第$j^{th}$観測値

工程能力（全体）

全体能力についての詳細は、工程能力（全体）のセクションを参照してください。

間/内工程能力に対するベンチマークZ

工程間/内能力に対するベンチマークZの計算は、潜在能力の場合とほぼ同様ですが、$\sigma_{within}$を$\sigma_{b/w}$に置き換えて計算します。詳細については、潜在工程能力に対するベンチマークZを参照してください。

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

期待される工程間/内パフォーマンス

工程間/内能力に対する期待パフォーマンスの計算は、工程内パフォーマンスとほぼ同様ですが、$\sigma_{within}$を$\sigma_{b/w}$に置き換えて計算します。詳細は工程内における期待パフォーマンスを参照してください。ただし、以下の信頼区間の計算は異なります。

PPM < LSLおよび % < LSLの信頼区間
- 片側
  \[LowerBound(PPM\;<\;LSL)=1000000\cdot p_1\]
  
  \[LowerBound(\%\;<\;LSL)=100\cdot p_1\]
Confidence Intervals for PPM > USL and % > USL
- 片側
  \[LowerBound(PPM\;>\;USL)=1000000\cdot p_2\]
  
  \[LowerBound(\%\;>\;USL)=100\cdot p_2\]

期待される全体パフォーマンス

観測パフォーマンス

詳細は、観測パフォーマンスを参照してください。

非正規工程能力分析

工程能力（全体）

Pp: Ppは、使用している分布のパラメータに基づいて計算されます。PPの計算にはZスコア法とISO法の2つの方法を用いられます。
- Zスコア法
  \[Pp = \frac{Z_{usl}-Z_{lsl}}{6}\]
  
  \[Z_{usl}=\Phi^{-1}(p_2), Z_{lsl}=\Phi^{-1}(p_1)\]
  
  $\Phi^{-1}(p)$: 標準正規分布の逆累積分布関数（$p*100^{th}$パーセンタイルに対応）
  
  $p_1=Prob(X\le LSL), p_2=Prob(X\le USL)$: 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界
- ISO法
  \[Pp = \frac{USL-LSL}{X_{0.99865}-X_{0.00135}}\]
  
  $USL, LSL$: それぞれ上側および下側の規格限界
  
  $X_{0.99865}, X_{0.00135}$: 使用している分布の$99.865^{th},0.135^{th}$パーセンタイルの値
PPL
- Zスコア法
  \[PPL= \frac{-\Phi^{-1}(p_1)}{3}\]
  
  $\Phi^{-1}(p)$: 標準正規分布の逆累積分布関数（$p*100^{th}$パーセンタイルに対応）
  
  $p_1=Prob(X\le LSL)$: 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $LSL$: 下側規格限界
- ISO法
  \[PPL = \frac{X_{0.5}-LSL}{X_{0.5}-X_{0.00135}}\]
  
  $LSL$: 下側規格限界
  
  $X_{0.5}, X_{0.00135}$: 使用している分布の$50^{th},0.135^{th}$パーセンタイルの値
PPU
- Zスコア法
  \[PPU= \frac{\Phi^{-1}(p_2)}{3}\]
  
  $\Phi^{-1}(p)$: 標準正規分布の逆累積分布関数（$p*100^{th}$パーセンタイルに対応）
  
  $p_2=Prob(X\le USL)$: 使用している分布の累積分布関数の値
  
  $USL$: 上側規格限界
- ISO法
  \[PPU = \frac{USL-X_{0.5}}{X_{0.99865}-X_{0.5}}\]
  
  $LSL$: 下側規格限界
  
  $X_{0.99865}, X_{0.5}$: 使用している分布の$99.865^{th},50^{th}$パーセンタイルの値
Ppk
\[Ppk = \min(PPU, PPL)\]

非正規工程能力の全体ベンチマークZ

Z.LSL、Z.USL、Z.Bench
\[Z.LSL = 3*PPL\]

\[Z.USL = 3*PPU\]

\[Z.Bench = \Phi^{-1}(1-P_1-P_2)\]

$P_1=Prob(X<LSL)$: 使用している分布に基づく累積分布関数の値、X < LSLとなる確率（非正規分布に基づく）

$P_2=Prob(X>USL)$: 使用している分布に基づく累積分布関数の値、X > USLとなる確率（非正規分布に基づく）

$\Phi(X)$: 標準正規分布の累積分布関数

$\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数

期待される全体パフォーマンス

PPM < LSL
下側規格限界（LSL）未満のパーツ・パー・ミリオン（PPM < LSL）は、次の確率から計算されます。

\[[PPM\;<\;LSL]=1000000*F(LSL)\]

$PPM$: パーツ・パー・ミリオン

$LSL$: 下側規格限界

$F(X)$: 使用している非正規分布の累積分布関数
PPM>USL
上側規格限界（USL）より大きいパーツ・パー・ミリオン（PPM > USL）は、次の確率から計算されます。

\[[PPM\;>\;USL]=1000000*(1-F(USL))\]

$PPM$: パーツ・パー・ミリオン

$USL$: 上側規格限界

$F(X)$: 使用している非正規分布の累積分布関数
PPM合計
\[[PPM\;Total] = [PPM\;<\;LSL] + [PPM\;>\;USL]\]

観測パフォーマンス

詳細は、観測パフォーマンスを参照してください。

分布

詳細は分布を参照してください。

二項分布の工程能力分析

平均P

\[AverageP=\frac{D_{total}}{N_{total}}\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N_{total}$: すべてのサンプルサイズの合計

平均Pの95%信頼区間

\[LowerBound = \frac{\nu_1*F_{0.025, \nu_1, \nu_2}}{\nu_2+\nu_1*F_{0.025, \nu_1, \nu_2}}\]

\[UpperBound = \frac{\nu_3*F_{0.975, \nu_3, \nu_4}}{\nu_4+\nu_3*F_{0.975, \nu_3, \nu_4}}\]

\[\nu_1 = 2*D_{total}\]

\[\nu_2=2*(N_{total}-D_{total}+1)\]

\[\nu_3=2*(D_{total}+1)\]

\[\nu_4=2*(N_{total}-D_{total})\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N_{total}$: すべてのサンプルサイズの合計

$F$:逆F累積分布関数

不良率

\[\%$D$efective=100*AverageP\]

不良率の95%信頼区間

\[LowerBound=100*LowerBoundForAverageP\]

\[UpperBound=100*UpperBoundForAverageP\]

PPM不良数

\[PPM\;$D$efective = 1000000*AverageP\]

PPM不良数の95%信頼区間

\[LowerBound=1000000*LowerBoundForAverageP\]

\[UpperBound=1000000*UpperBoundForAverageP\]

プロセスZ

\[Process \; Z = \Phi^{-1}(AverageP)\]

$\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数

Process Z 95% Confidence Interval

\[LowerBound=-\Phi^{-1}(UpperBoundForAverageP)\]

\[UpperBound=-\Phi^{-1}(LowerBoundForAverageP)\]

$\Phi^{-1}(X)$: 標準正規分布の逆累積分布関数

ポアソン分布の工程能力分析

平均不良数

\[Mean\;$D$efective=\frac{D_{total}}{N}\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N$:サンプル数

平均不良数の95%信頼区間

\[LowerBound = \frac{\chi_{0.025,\nu_1}^2}{2N}\]

\[UpperBound = \frac{\chi_{0.975,\nu_2}^2}{2N}\]

\[\nu_1 = 2*D_{total}\]

\[\nu_2=2*(D_{total}+1)\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N$:サンプル数

$\chi^2$:逆カイ二乗累積分布関数

平均DPU

\[Mean\;$D$efects\;Per\;Unit=\frac{D_{total}}{N_{total}}\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N_{total}$: すべてのサンプルサイズの合計

平均DPUの 95%信頼区間

\[LowerBound = \frac{\chi_{0.025,\nu_1}^2}{2N_{total}}\]

\[UpperBound = \frac{\chi_{0.975,\nu_2}^2}{2N_{total}}\]

\[\nu_1 = 2*D_{total}\]

\[\nu_2=2*(D_{total}+1)\]

$D_{total}$: 全不良品数の合計

$N_{total}$: すべてのサンプルサイズの合計

$\chi^2$:逆カイ二乗累積分布関数

最小DPU

すべてのサンプルの中で、最小の単位当たり不良数。

最大DPU

すべてのサンプルの中で、最大の単位当たり不良数。

工程能力分析のアルゴリズム

目次

正規工程能力分析

標準偏差の推定

潜在工程能力

工程能力（全体）

潜在工程能力に対するベンチマークZ

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

期待される工程内パフォーマンス

期待される全体パフォーマンス

観測パフォーマンス

サブグループ間/内の工程能力分析

標準偏差の推定

サブグループ間/内の工程能力

工程能力（全体）

間/内工程能力に対するベンチマークZ

工程能力（全体）に対するベンチマークZ

期待される工程間/内パフォーマンス

期待される全体パフォーマンス

観測パフォーマンス

非正規工程能力分析

工程能力（全体）

非正規工程能力の全体ベンチマークZ

期待される全体パフォーマンス

観測パフォーマンス

分布

二項分布の工程能力分析

平均P

平均Pの95%信頼区間

不良率

不良率の95%信頼区間

PPM不良数

PPM不良数の95%信頼区間

プロセスZ

Process Z 95% Confidence Interval

ポアソン分布の工程能力分析

平均不良数

平均不良数の95%信頼区間

平均DPU

平均DPUの 95%信頼区間

最小DPU

最大DPU