Trennschärfe und Stichprobenumfang

Zusammenfassung

Die Analyse von Trennschärfe und Stichprobenumfang ist nützlich in der Versuchsplanung. Unzureichende Daten bedeuten eine zu geringe Trennschärfe, um eine falsche Nullhypothese zurückzuweisen, und das Sammeln von zu vielen Daten ist eine Verschwendung von Zeit und Ressourcen. Daher ist es grundsätzlich wichtig, die Anforderungen an den Stichprobenumfang vor dem Durchführen eines Experiments zu bestimmen. Die Trennschärfe des Experiments kann für einen gegebenen Stichprobenumfang berechnet werden. Genauso können erforderliche Stichprobenumfänge für gegebene Trennschärfewerte berechnet werden.

Was Sie lernen werden

Dieses Tutorial zeigt Ihnen, wie Sie den Wert eines Stichprobenumfangs oder der geschätzten Trennschärfe berechnen, um Experimente mit Hilfe verschiedener praktische Beispiele zu entwerfen.

(PSS) t-Test bei einer Stichprobe

Hintergrund:
Ein Soziologe möchte bestimmen, ob die durchschnittliche Kindersterblichkeitsrate in den USA gleich 8 ist oder nicht. Im Versuchsaufbau kann die Differenz der Rate nicht mehr als 0,5 variieren. Es ist bereits aus der Pilotstudie bekannt, dass die Standardabweichung 2,1 betragen sollte.

Frage:
Wie groß wäre der Stichprobenumfang, um die durchschnittliche Kindersterblichkeitsrate bei einem Konfidenzniveau von 95 % (\(\alpha\) = 0,05) für die Trennschärfewerte von 0,7, 0,8 und 0,9 zu schätzen?
Schritte in Origin:

1. Aktivieren Sie ein leeres Arbeitsblatt und wählen Sie Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: t-Test bei einer Stichprobe.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_tTest1 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erzeugt, das den berechneten Stichprobenumfang für die hypothetischen Trennschärfen auflistet.

Ergebnisinterpretation:
Gemäß der Ergebnisse sollte der Soziologe für den Versuchsaufbau eine Umfrage von 111 Stichproben für einen Trennschärfewert von 0,7, 141 Stichproben für einen Trennschärfewert von 0,8 und 188 Stichproben für einen Trennschärfewert von 0,9 durchführen.

(PSS) t-Test bei zwei Stichproben

Hintergrund:
Eine Arztpraxis arbeitet mit zwei örtlichen Krankenkassen zusammen, Healthwise und Medcare. Es soll der Mittelwert des Zeitraums (in Tagen) verglichen werden, den die beiden Kassen für das Durchführen von Rückerstattungen benötigen. Historische Daten zeigen, dass der durchschnittliche Wert von Healthwise bei 32 Tagen liegt und die Standardabweichung 7,5 Tage beträgt. Der durchschnittliche Rückerstattungszeitraum für Medcare liegt bei 42 Tagen, und die Standardabweichung beträgt 3,5 Tage.

Frage:
Wenn 10 Forderungen an jede Kasse ausgewählt und die entsprechenden Rückerstattungszeiträume erfasst werden, welche Trennschärfe ist notwendig, um die Differenz der Mittelwerte der Rückerstattungszeiten zwischen den 2 Krankenkassen mit 5 % oder mehr zu erkennen?

Schritte in Origin:

1. Berechnen Sie die gepoolte Standardabweichung als:

   \(\sqrt{((5-1)^{*}7,5^{\land} 2+(5-1)^{*}3,5^{\land }2)/(5+5-2)}=5,85235\)
   
   *Beachten Sie, dass dieser Wert später als Standardabweichung für die Berechnung der Trennschärfe verwendet wird.

2. Die Stichprobengröße der ersten Gruppe und zweiten Gruppe sollte 10 betragen (20 Stichproben insgesamt).
3. Aktivieren Sie ein leeres Arbeitsblatt und wählen Sie Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: t-Test bei zwei Stichproben.
4. Wählen Sie im Dialog PSS_tTest2 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erstellt, das die berechnete Trennschärfe zeigt.

Ergebnisinterpretation:
Dem Ergebnis nach können wir schlussfolgern, dass die Arztpraxis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95054:1 (oder 95 %) eine Differenz erkennen kann, wenn 10 Forderungen für jede Krankenkasse gesammelt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verwerfen und schlussfolgern, dass die zwei Mittelwerte nicht unterschiedlich sind, liegt bei 4,946% (1 - 0,95054).

(PSS) t-Test bei verbundenen Stichproben

Hintergrund:
Zwei Maschinen des gleichen Typs werden verwendet, um die Dicke einer Dünnschicht aus amorphen Silizium (a-Si) zu messen. Um zu bestimmen, ob es eine Differenz in den zwei Maschinenmessungen gibt, plant ein Ingenieur eine Untersuchung, um die Tiefenmessungen der beiden Maschinen zu vergleichen.

Bei einer vorhergehenden Untersuchung zur Dicke einer a-Si-Dünnschicht wurde die Standardabweichung der Differenz bei 2 µm liegend festgestellt. Außerdem ist bekannt, dass die Differenz der Messung durch die zwei Maschinen 0,5 µm nicht überschreiten sollte. Die durchschnittliche Dicke, die von Maschine 1 gemessen wurde, liegt bei 5000 µm.

Frage:
Wie viele Stichproben müssen bei einem Konfidenzniveau von 99 % für die Trennschärfewerte von 0,8, 0,9, 0,95 verwendet werden?

Schritte in Origin:
Gemäß der obenstehenden Informationen wird geschlussfolgert, dass der Mittelwert der ersten Gruppe bei 5000 µm liegt und der Mittelwert der zweiten Gruppe bei 5000,5 µm.

1. Aktivieren Sie ein leeres Arbeitsblatt und wählen Sie Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: t-Test bei verbundenen Stichproben.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_tTestPair die Einstellungen im folgenden Bild und klicken Sie auf OK.

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erzeugt, das den erforderlichen Stichprobenumfang für die verschiedenen Trennschärfewerte auflistet.

Ergebnisinterpretation:
Wir können schlussfolgern, dass der Ingenieur mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % eine Differenz erkennt, wenn 191 Stichproben der Dünnschicht von jeder Maschine gemessen werden. Bei 242 gemessenen Stichproben beträgt die Wahrscheinlichkeit 90 % und bei 289 gemessenen Stichproben der Dünnschicht 95 %.

(PSS) Einfache ANOVA

Hintergrund:
Forscher möchten herausfinden, ob unterschiedliche Pflanzen einen unterschiedlichen Stickstoffgehalt haben. Sie planten, den Stickstoffgehalt in Milligramm von 4 Pflanzenarten (80 Beobachtungen pro Pflanzenart) zu erfassen. Die bisherige Forschung geht davon aus, dass die Quadratwurzel von MSE (Fehler des Mittelwerts der Quadrate) 60 und die CSS (korrigierte Summe der Quadrate) des Mittelwerts 400 sind.

Frage:
Ist der Plan durchführbar? (Das heißt, ist die berechnete Trennschärfe akzeptabel?)

Schritte in Origin:

1. Der Stichprobenumfang für jede Gruppe ist 80.
2. Aktivieren Sie ein leeres Arbeitsblatt und wählen Sie Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Einfache ANOVA
3. Wählen Sie im Dialog PSS_ANOVA1 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.

Origin-Ausgabe:
Ein Ergebnisblatt wird erzeugt, und der Trennschärfewert wird basierend auf der bekannten Bedingung berechnet.

Ergebnisinterpretation:
Es sieht so aus, als wäre der ursprüngliche Versuchsplan mangelhaft. Die Wahrscheinlichkeit, eine Differenz in den Gruppen zu entdecken, liegt bei 69 %. Um verlässlichere Ergebnisse zu erhalten, müssen die Forscher mehr Stichproben von jeder Pflanzenart sammeln.

(PSS) Test auf Varianzen bei einer Stichprobe

Hintergrund:
Ein Halbleiterwerk stellt Substrate für die Mikrochip-Verpackung her. Die Streuung der Substratdicke ist ein wichtiger Indikator für die Prozessstabilität. Historische Daten (Basislinie) zeigen, dass die Varianz des alten Prozesses 0,04 beträgt. Die Konstruktionsabteilung hat ein neues Kühlsystem entwickelt und behauptet, damit die Abweichung auf 0,02 reduzieren zu können.

Frage:
Wie viele Substratproben muss das Qualitätskontrollteam untersuchen, um diese Verbesserung bei einer Trennschärfe von 0,8 und 0,9 (bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha\) = 0,05) nachzuweisen?

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: (PSS) Test auf Varianzen bei einer Stichprobe.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_varTest1 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Die von Origin erzeugten Ergebnisse zeigen:

Interpretation der Ergebnisse:

• Um eine Wahrscheinlichkeit von 80 % zu haben, eine signifikante Verringerung der Varianz festzustellen, sind mindestens 38 Stichproben erforderlich.

• Um eine höhere Erkennungsrate von 90 % zu erreichen, muss die Stichprobengröße auf 48 erhöht werden.

(PSS) Test auf Varianzen bei zwei Stichproben

Hintergrund:
Der Forscher möchte die Variabilität zweier verschiedener Gruppen untersuchen. Zur Vorbereitung der Studie entnehmen die Forscher 40 bzw. 50 Proben aus jeder Gruppe und können ein Standardabweichungsverhältnis von 0,75 feststellen.

Frage:
Forscher wollen wissen, welche Trennschärfe der Test auf Varianzen bei 2 Stichproben hat.

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: (PSS) Test auf Varianzen bei zwei Stichproben.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_varTest2 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Ergebnisse von Levene-Test und F-Test

Interpretation der Ergebnisse:

• Der Levene-Test ergibt eine Trennschärfe von 0,12877 für den Stichprobenumfang 40 und 0,15164 für den Stichprobenumfang 50.

Test von Anteilen bei einer Stichprobe

Hintergrund:
Ein Hersteller von Präzisionsbauteilen hält strenge Qualitätsstandards ein, wonach die Fehlerquote unter 2 % liegen muss. Nachdem kürzlich auf einen neuen Rohstofflieferanten umgestellt wurde, befürchtet der Qualitätsmanager, dass die Fehlerquote auf 5 % gestiegen sein könnte.

Frage:
Wie groß muss der Stichprobenumfangsein, um eine ausreichende statistische Trennschärfe für den Nachweis dieses Shifts zu gewährleisten?

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Test von Anteilen bei einer Stichprobe.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_proportionTest1 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Hinweis: Wir verwenden einen Größer als-Test, weil das primäre Anliegen die Qualitätsverschlechterung ist (Anstieg der Fehler).

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erstellt, das den berechneten Stichprobenumfang zeigt.

Interpretation der Ergebnisse:
Für eine Trennschärfe von 0,8 ist der erforderliche Stichprobenumfang ca. 191. Für eine Trennschärfe von 0,9 ist der erforderliche Stichprobenumfang ca. 289.

(PSS) Test von Anteilen bei zwei Stichproben

Hintergrund:
Es ist bekannt, dass sich eine bestimmte Art von Hautveränderung bei 30 % der Patienten zu Krebs entwickelt, wenn sie unbehandelt bleibt. Es gibt ein Medikament auf dem Markt, das das Krebsrisiko um 10 % senkt. Ein Pharmaunternehmen entwickelt ein neues Medikament zur Behandlung von Hautveränderungen, doch lohnt sich dies nur, wenn das neue Medikament um 5 % besser ist als das bereits vorhandene. Das Pharmaunternehmen plant eine Studie, bei der die Patienten nach dem Zufallsprinzip zwei Gruppen zugeordnet werden: der Kontrollgruppe (unbehandelt) und der Behandlungsgruppe.

Frage:
Das Unternehmen möchte wissen, wie viele Probanden benötigt werden, um einen Unterschied in den Anteilen von 0,15 mit einer Trennschärfe von 0,8 bei einem Signifikanzniveau von 0,05 zu testen.

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: (PSS) Test von Anteilen bei zwei Stichproben.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_proportionTest2 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erstellt, das den berechneten Stichprobenumfang zeigt.

Interpretation der Ergebnisse:
Die Ergebnisse zeigen, dass wir in jeder Gruppe 95 Probanden benötigen, um bei einem Signifikanzniveau von 0,05 und einer Trennschärfe von 0,8 eine Wahrscheinlichkeitsänderung von 0,15 nachweisen zu können.

(PSS) Ereignisrate in Poisson-Modellen bei einer Stichprobe

Hintergrund:
Das Kundenservicecenter für Kreditkarten einer Bank verfügt über historische Daten, aus denen hervorgeht, dass während der Nachtschicht (0:00 – 6:00 Uhr) durchschnittlich fünf Notrufe pro Stunde eingehen. Nach einer kürzlich erfolgten Systemaktualisierung befürchtet die Geschäftsleitung, dass die Häufigkeit dieser Anrufe deutlich zugenommen haben könnte. Sollte die Anzahl der Anrufe auf 8 pro Stunde steigen, wird der derzeitige Personalbestand nicht ausreichen, um das Aufkommen zu bewältigen.

Frage:
Berechnen Sie die erforderliche Beobachtungsdauer, um eine Trennschärfe von 80 %/90 %/95 % zu gewährleisten und damit eine Verschiebung von 5 auf 8 Anrufe pro Stunde festzustellen.

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Ereignisrate in Poisson-Modellen bei einer Stichprobe.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_poissonTest1 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:

Interpretation der Ergebnisse:
Origin gibt einen Stichprobenumfang von 5 aus. Das bedeutet, dass das Anrufaufkommen insgesamt 5 Stunden lang überwacht werden muss. Bei einer Beobachtungsdauer von 5 Stunden verschiebt sich die erwartete Gesamtzahl von 25 (5*5) auf 40 (5*8), was genügend Daten liefert, um den Anstieg mit einer Trennschärfe von 80 % von zufälligen Schwankungen zu unterscheiden. Um einen höheren Trennschärfewert zu erreichen, ist es erforderlich, die Zeitlänge zu erhöhen.

(PSS) Ereignisrate in Poisson-Modellen bei zwei Stichproben

Hintergrund:
Eine städtische Verkehrsbehörde testet zwei Asphaltarten (Material A und Material B). Sie wollen herausfinden, ob Material B sicherer ist als Material A, indem sie die Anzahl der Verkehrsunfälle pro Kilometerstrecke vergleichen. Die historischen Daten zu Material A weisen eine Unfallrate von 12 pro 10.000 km auf. Es wird erwartet, dass das neue Material B diese Rate auf 8 pro 10.000 km senken wird.

Frage:
Bestimmen Sie die zu überwachende Gesamtdistanz (Stichprobenumfang) für jedes Material, um eine Trennschärfe von 80 % zu erreichen.

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Ereignisrate in Poisson-Modellen bei zwei Stichproben.
2. Wählen Sie im Dialog PSS_poissonTest2 die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erstellt, das den berechneten Stichprobenumfang zeigt.

Interpretation der Ergebnisse:
Der Berechnung nach ist ein Stichprobenumfang von ca. 8 für jede Gruppe erforderlich. Dies bedeutet, dass die Behörde 80.000 km jeder Straßenbelagsart überwachen muss, um die Verbesserung der Sicherheit zuverlässig nachweisen zu können.

Stichprobenumfang für Schätzung

Hintergrund:
Ein Komponentenhersteller hat ein neues Keramikkugellager entwickelt. Vor der Markteinführung muss das Forschungs- und Entwicklungsteam die „Mean Time to Failure“ (MTTF) bestätigen, die in den technischen Spezifikationen angegeben werden soll. Laut der Pilotstudie (einem kleinen Vorversuch) berechneten die Ingenieure die Standardabweichung für etwa 200 Stunden anhand von 5 bis 10 Stichproben.

Frage:
Wenn die geschätzten Stunden innerhalb von ±25 Stunden um den tatsächlichen Mittelwert liegen müssen, wie viele Komponenten müssen dann getestet werden, um das Testergebnis mit einem Konfidenzintervall von 95 % zu gewährleisten?

Schritte in Origin:

1. Wählen Sie im Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Stichprobenumfang für Schätzung.
2. Wählen Sie im Dialog sample_size_estimation die folgenden Einstellungen und klicken Sie auf OK.
   

Origin-Ausgabe:
Es wird ein Ergebnisblatt erstellt, das den berechneten Stichprobenumfang zeigt.

Interpretation der Ergebnisse:
Es müssen mindestens 249 einzelne Komponenten getestet werden, um sicherzustellen, dass Ihr geschätzter Mittelwert bei einem Konfidenzniveau von 95 % innerhalb einer Fehlerspanne von ±25 Stunden liegt.