FAQ-782 エラーバーが大きく変更されたときにパラメータの標準誤差が変わらないのはなぜですか？

最終更新日：2025/1/16

フィットパラメータの標準誤差（SE）および関連結果もついて、他のソフトウェアと互換性を保つために、sqrt(補正カイ2乗値）のスケールエラーのボックスにデフォルトでチェックが入っています。このチェックボックスをオンにすると、エラーバーが大きく変更されても、パラメータのSEは変わりません。機械的、任意データセットあるいは直接重み付けでデータをフィットする場合は、パラメータの標準誤差が重みに影響するため、このオプションのチェックを外して無効にすることをお勧めします。

Sqrt（補正カイ2乗値）のスケールエラーオプションは、

非線形曲線フィットダイアログの詳細タブ：フィット制御または、
線形フィットダイアログのフィット制御タブにあります

Note:

このチェックボックスは、フィットしたパラメータのSEにのみ影響します。フィッティング処理やパラメータ値には全く影響しません。

簡単な理論の説明

以下では、j 番目のフィットパラメータ $\theta_j$ のSEが、sqrt(補正カイ2乗値）のスケールエラーのチェックの有無によってどのように変化するかを議論します。簡略化のため、エラーバー $\sigma_{y_i}$ は定数k を掛けたものであると仮定します。より詳細なアルゴリズムと解説については、非線形曲線フィットの理論を参照してください。

デフォルトでは、sqrt(補正カイ2乗値）のスケールエラーが有効のとき、パラメータ $\hat \theta$ の分散 - 共分散行列 $C$ は $F'F$ と $\sigma^2$ に依存します。

$C=(F'F)^{-1}\sigma^2$	(1)

ここで、 $F$ は、i 行とj 列の編微分の行列です。

$F_{ij}=\frac{\partial f(X, \boldsymbol{\theta})}{\sigma _{y_i}\partial \theta _j}$	(2)

そして、 $\sigma^2$ は平均残留分散であり、これは補正カイ二乗によって推定されます。

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{{\sigma_{y_i}}^2} \left[Y_i-f(X, \boldsymbol{\theta}) \right ]^2/df_{\text{Error}}$	(3)

$\theta_j$ のSEは行列 $C$ の主対角値の平方根です。

$\sigma_{\theta_j}=\sqrt{c_{jj}}\,\!$	(4)

エラーバー $\sigma_{y_i}$ は、k の因子により変わる場合、 $F'F$ と $\sigma^2$ の両方は因子 $1/k^2$ によって変わり、kはSEの計算を打ち消します。したがって、エラーバーがスケールされたときに、SEは変わりません。

sqrt(補正カイ2乗値）のスケールエラーがチェックされていない場合は、 $\sigma^2$ は分散 - 共分散行列を計算する際に除外されることを意味し、行列 $C$ は $(F'F)^{-1}$ のみに依存します。

$C=(F'F)^{-1}$	(5)

SEは以下のようになります

$\sigma'_{\theta_j}=\frac{\sigma_{\theta_j}}{\sigma}$	(6)

エラーバーにk を掛けた場合、SEもk 倍となります。

モデルをフィットした後、補正カイ二乗値を使って、重みが真のYエラーを表現しているかどうかを確認できます。sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーオプションにチェックを入れた時と外した時とで、パラメータの標準誤差が大きく異なる場合は、重みは真のYエラーを表現していません。詳細は、このページをご覧下さい。

クイックサンプル

以下の簡単なサンプルで、sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーオプションがフィットパラメータのSEにのみ影響を与えることを確認します。

このデータをコピーしてワークシートに貼り付けます。
列Cで右クリックして、列XY属性の設定：Yエラーバーエラーを選択します。
ワークシートのすべての列を選択し、解析：フィット：非線形曲線フィットを選択して、ダイアログを開きます。
関数ドロップダウンリストから、Gauss関数を選択します。詳細タブを選択して、フィット制御のブランチを開きます。sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーにチェックが付いていることを確認します。

フィットをクリックするとパラメータ値とSEを含むフィットレポートが作成されます。
緑の鍵のアイコンをクリックして、パラメータを変更を選択します。 非線形曲線フィットダイアログが開いたら、sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーのチェックを外します。

フィットボタンをクリックします。パラメータのSEは変化しますが、フィット値は変化していません。
今度はエラーをスケーリングして、sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーのチェックの有無がSEにどのような影響があるかを見てみましょう。パラメータを変更から非線形曲線フィットダイアログを開きます。sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーのチェックを付けフィットを実行してから、鍵のアイコンのメニューから再計算モード：自動に変更します。
エラー列Cに10を掛けます。レポートシートが自動的に更新されます。パラメータのSEは、操作4で得られた結果と同じことがわかります。
パラメータを変更から、再度非線形曲線フィットダイアログを開きます。sqrt(補正カイ二乗値)のスケールエラーのチェックを外します。フィットボタンをクリックします。操作5で得られたSEの10倍の値が得られます。

サンプルデータ

X	Y	Yエラー
11	5	0.4472
13	10	0.6324
15	19	0.8718
17	27	1.0392
19	49	1.4
21	65	1.6124
23	77	1.755
25	80	1.7888
27	77	1.755
29	59	1.5362
31	44	1.3266
33	24	0.9798
35	11	0.6634
37	14	0.7484
39	4	0.4

FAQ-782 エラーバーが大きく変更されたときにパラメータの標準誤差が変わらないのはなぜですか？

目次

簡単な理論の説明

クイックサンプル

サンプルデータ

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