FAQ-782 Warum bleibt der Standardfehler des Parameters unverändert, während der Fehlerbalken sich sehr ändert?

Letztes Update: 16.01.2025

Um die Kompatibilität des Standardfehlers (SE) des angepassten Parameters und die verbundenen Ergebnisse mit anderer Software zu bewahren, ist das Kontrollkästchen Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) standardmäßig aktiviert. Ist dieses Kontrollkästchen aktiviert, bleibt der Standardfehler des Parameter gleich, sogar wenn die Fehlerbalken sich beträchtlich verändert. Wir empfehlen, diese Option zu deaktivieren, wenn Daten mit instrumenteller oder direkter Gewichtung bzw. einem beliebigen Datensatz angepasst werden, so dass der Standardfehler des Parameters den Betrag der Gewichtung wiedergeben kann.

Sie finden das Kontrollkästchen Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) auf der

Registerkarte Erweitert: Fit-Steuerung des Dialogs Nichtlinearer Fit oder der
Registerkarte Fit-Steuerung des Dialogs Lineare Regression.

Hinweis:

Dieses Kontrollkästchen hat NUR Einfluss auf den Standardfehler der angepassten Parameter. Es hat KEINEN Einfluss auf den Anpassungsprozess oder die Parameterwerte.

Inhalt

1 Einfache Theorieerklärung
2 Kurzes Beispiel
- 2,1 Beispieldaten
- 2,2 Verwandte Themen

Einfache Theorieerklärung

Wir erörtern unten, wie der Standarfehler des j-ten angepassten Parameter $\theta_j$ sich verändert mit und ohne aktivierter Option Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.). Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass der Fehlerbalken $\sigma_{y_i}$ durch die Multiplikation mit einer Konstanten k skaliert wird. Einzelheiten zu Algorithmus und Erklärung finden Sie unter Theorie der nichtlinearen Kurvenanpassung.

Wenn Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) standardmäßig aktiviert ist, hängt die Varianz-Kovarianz-Matrix $C$ für Parameter $\hat \theta$ von $F'F$ und $\sigma^2$ ab.

$C=(F'F)^{-1}\sigma^2$	(1)

Wobei $F$ die partielle Ableitungsmatrix ist, deren Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte folgendermaßen lautet:

$F_{ij}=\frac{\partial f(X, \boldsymbol{\theta})}{\sigma _{y_i}\partial \theta _j}$	(2)

und $\sigma^2$ ist die mittlere Residuenvarianz, die mittels des reduzierten Chi-Quadrats geschätzt wird:

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{{\sigma_{y_i}}^2} \left[Y_i-f(X, \boldsymbol{\theta}) \right ]^2/df_{\text{Error}}$	(3)

Der SE von $\theta_j$ ist dann die Quadratwurzel eines diagonalen Hauptwerts der Matrix $C$

$\sigma_{\theta_j}=\sqrt{c_{jj}}\,\!$	(4)

Wenn die Fehlerbalken $\sigma_{y_i}$ mit einer Konstanten k und sowohl $F'F$ als auch $\sigma^2$ mit einem Faktor $1/k^2$ geändert werden, dann hebt k sie jeweils in der Berechnung des Standardfehlers auf. Daher bleibt der Standardfehler unverändert, wenn der Fehlerbalken skaliert wird.

Wenn Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) deaktiviert ist, wodurch $\sigma^2$ beim Berechnen der Varianz-Kovarianz-Matrix ausgeschlossen ist, hängt die Matrix $C$ nur von $(F'F)^{-1}$ ab.

$C=(F'F)^{-1}$	(5)

Der Standardfehler SE wird jetzt

$\sigma'_{\theta_j}=\frac{\sigma_{\theta_j}}{\sigma}$	(6)

Wenn die Fehlerbalken mit k multipliziert werden, wird der SE auch mal k sein.

Nach Anpassen der Modelle verwenden wir das reduzierte Chi-Quadrat, um zu prüfen, ob die Gewichtungen den realen Y-Fehler darstellen können oder nicht. Zusammengefasst: Wenn Sie herausfinden, dass der Standardfehler des Parameters bei Aktivierung bzw. Deaktivierung des Kontrollkästchens Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) sich sehr unterscheidet, bedeutet dies, dass die Gewichtungen möglicherweise nicht die realen Y-Fehler darstellen. Weitere Informationen finden Sie auf dieser Seite.

Schnelles Beispiel

Unten befindet sich ein kurzes Beispiel, das belegt, dass Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) nur den Standardfehler der angepassten Parameter beeinflusst.

Kopieren Sie diese Daten und fügen Sie in ein Arbeitsblatt ein.
Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Spalte col(C) und wählen Sie Setzen als: Als Y-Fehler setzen.
Markieren Sie alle Spalten und wählen Sie Analyse: Anpassen: Nichtlinearer Fit, um den Dialog NLFit zu öffnen.
Wählen Sie Gauss in der Auswahlliste Funktion. Gehen Sie zur Registerkarte Erweitert und erweitern Sie den Zweig Fit-Steuerung. Stellen Sie sicher, dass das Kontrollkästchen Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) aktiviert ist.

Wenn Sie auf Fit klicken, wird ein Anpassungsbericht erzeugt, der Parameterwerte und Standardfehler enthält.
Klicken Sie auf das grüne Schloss und wählen Sie Parameter ändern. Deaktivieren Sie im Dialog NLFit das Kontrollkästchen Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.).

Klicken Sie auf Fit. Standardfehler der Parameter ändern sich, aber die angepassten Werte nicht.
Jetzt wird der Fehler skaliert und festgestellt, wie unterschiedlich der Einfluss auf den Standardfehler ist je nachdem, ob Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) aktiviert ist oder nicht. Öffnen Sie den Dialog NLFit über Parameter ändern. Aktivieren Sie Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) und ändern Sie die Einstellung für Neu berechnen in Auto.
Multiplizieren Sie die Fehlerspalte C mit 10. Das Berichtsblatt wird automatisch aktualisiert. Sie sehen, dass der Standardfehler (SE) der Parameter der gleiche bleibt (vergleichen Sie das zweite Bild in Schritt 4).
Öffnen Sie den Dialog NLFit erneut über Parameter ändern. Deaktivieren Sie Skalierungsfehler mit Quadrat (Reduziertes Chi-Qdr.) Klicken Sie auf Fit. Sie sehen, dass der Standardfehler dieses Mal mit 10 multipliziert ist.

Beispieldaten

X	Y	Y-Fehler
11	5	0.4472
13	10	0.6324
15	19	0.8718
17	27	1.0392
19	49	1.4
21	65	1.6124
23	77	1.755
25	80	1.7888
27	77	1.755
29	59	1.5362
31	44	1.3266
33	24	0.9798
35	11	0.6634
37	14	0.7484
39	4	0.4

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