アルゴリズム (weibullfit)

下記の場合、\[ n\,\!\]の実現には、ワイブル分布からの\[y_i \,\!\] 、 値 \[x_i \,\!\] が観測されます。\[x_i\leq y_i \,\!\]

2つの状況があります。

次の場合、観測値を正確に指定します。\[x_i=y_i \,\!\]

次の場合、下限によって知ることができる右側の打ち切り値を指定します。\[x_i<y_i \,\!\]

ワイブル分布の確率密度関数は、尤度に対して正確に指定した観測値の寄与となり、次の式で与えられます。

\[f(x:\theta ,c,\sigma )=\frac c\sigma (\frac{x-\theta }\sigma )^{c-1}\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!\]

ワイブル分布の生存関数は、尤度に対して右側の観測値の寄与となり、次の式で与えられます。

\[S(x;c,\sigma )=\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!\]

ここで、 \[\theta\,\!\] 切片パラメータはしきい値パラメータと呼ばれ、\[c \,\!\] は、ワイブルの形状パラメータであり、 \[ \sigma \,\!\] は、ワイブルのスケールパラメータです。

\[ n\,\!\] の観測の\[d\,\!\]が、 \[i\in D \,\!\]で正確に指定され、示されれば、 残りの \[(n-d) \,\!\] 観測値は、右側打ち切り値となります。そして、尤度関数 \[Like(c,\sigma) \,\!\] が次のように与えられます。

\[Like(c,\sigma )=(\frac c\sigma )^d(\coprod_{i\in D}(\frac{x_i-\theta }\sigma )^{c-1})\exp (-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c) \,\!\]

カーネル尤度関数は次式で与えられます。

\[L(c,\sigma )=d\log (\frac c\sigma )+(c-1)\sum_{i\in D}\log (\frac{x_i-\theta }\sigma )-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c \,\!\]

派生値 \(\frac{\partial L}{\partial c} \,\!\),\(\frac{\partial L}{\partial \sigma } \,\!\),\(\frac{\partial ^2L}{\partial c^2} \,\!\),\(\frac{\partial ^2L}{\partial \sigma \partial c} \,\!\), \[\frac{\partial ^2L}{\partial \sigma ^2} \,\!\] は、それぞれ \(L_1 \,\!\),\(L_2 \,\!\) ,\(L_{11} \,\!\) ,\(L_{12} \,\!\) ,\(L_{22} \,\!\)  で表され、最大尤度の見積値、 \[\widehat{c} \,\!\] および \[\widehat{\sigma } \,\!\] は、次の数式の階です。:\[L_1(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\!\] および \[L_2(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\!\]

\[\widehat{c} \,\!\] および \[\widehat{\sigma } \,\!\] の漸近標準誤差の見積もりは、次の式で与えられます。

\[se(\widehat{c})=\sqrt{\frac{-L_{22}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\!\] および \[se(\widehat{\sigma })=\sqrt{\frac{-L_{11}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\!\]

\[\widehat{c}\,\!\]および\[\widehat{\sigma } \,\!\]の相関係数の見積もりは、 次の式で与えられます。\[\frac{L_{12}}{\sqrt{L_{11}L_{22}}} \,\!\]