Algorithmen (Test auf Varianzen bei zwei Stichproben)

Der F-Test berechnet das Verhältnis der Varianz von zwei Stichproben, um zu testen, ob die zwei Datenstichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen oder nicht. Die Hypothesen haben folgende Form:

\(H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1\) vs. \(H_1:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\ne 1\) Beidseitiger Test

\(H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \le 1\) vs. \(H_1:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} > 1\) Oberer Test

\(H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ge 1\) vs. \(H_1:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < 1\) Unterer Test

Teststatistik

Die Statistik des F-Tests wird berechnet als: \(F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\)

wobei \(s_1^2\,\!\) und \(s_2^2\,\!\) beobachtete Stichprobenvarianzen sind. Ein Verhältnis von 1 weist auf gleiche Stichprobenvarianzen hin, während von 1 abweichende Verhältnisse auf ungleiche Varianzen der Grundgesamtheit hinweisen. Die Hypothese, dass die Varianzen von zwei Stichproben gleich sind, wird zurückgewiesen, wenn \(p < \sigma\,\!\) , wobei p die berechnete Wahrscheinlichkeit und \(\sigma\,\!\) das gewählte Signifikanzniveau ist.

Konfidenzintervalle

Die oberen und unteren Konfidenzgrenzwerte für F-Test-Statistik sind:

Nullhypothese	Konfidenzintervall
\[H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1\]	\[\left[\frac{F}{F_{1-\alpha/2}},\frac{F}{F_{\alpha/2}}\right]\]
\[H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \le 1\]	\[\left[\frac{F}{F_{1-\alpha}},\infty\right]\]
\[H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ge 1\]	\[\left[0,\frac{F}{F_{\alpha}}\right]\]

wobei \(F_{1-\sigma/2}\,\!\) und \(F_{\sigma/2}\,\!\) den unteren und oberen kritischen Wert für eine F-Verteilung mit \(n_1-1\,\!\) und \(n_2-1\,\!\) Freiheitsgraden und \(\sigma\,\!\) Signifikanzniveau darstellen.