アルゴリズム(2群のt検定)

2群の t検定はスチューデントのt統計量と関連する確率を計算し、2つの標本の平均の差が\(\mu_d\,\!\)に等しいかどうかを検定します(例：2つの平均が等しいかどうかを検定するにはその差が0、つまり\(\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!\)であるかどうかを検定します)。そして、仮説は次の形式をとります。

\(H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\) Vs \(H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d\) 両側

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\) Vs \(H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d\) 上側

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\) Vs \(H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d\) 下側

検定統計量

標本サイズが\(x_1\,\!\)と\(x_2\,\!\)、平均が\(n_1\,\!\)と\(n_2\,\!\)、分散が\(\mu_1\,\!\)と\(\mu_2\,\!\)である2つの独立した標本\(\sigma_1^2\,\!\)と\(\sigma_2^2\,\!\)が、2つの正規分布する母集団からそれぞれ得られたものだとすると、下記の式で表すことができます。

\(\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{j=1}^{n_1}x_{1j}\), \(\bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2}x_{2j}\), \(s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_{j=1}^{n_1}{(x_{1j}-\bar{x}_1)^2}\), \(s_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_{j=1}^{n_2}{(x_{2j}-\bar{x}_2)^2}\)

ここで、\(\bar{x}_1\,\!\)と\(\bar{x}_2\,\!\)は標本平均で、\(s_1^2\,\!\)と\(s_2^2\,\!\)は標本分散です。そして、t 検定統計量を次の式で計算します。

ここでは、等しい分散であると仮定され、それは\(\sigma_1^2=\sigma_2^2\,\!\)になります。

検定の統計量tは次のようになります。

\[t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{s_p\sqrt{(1/n_1+1/n_2)}}\]

これは自由度 \((v = n_1+n_2-2)\) を持つt 分布であり、

\[s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\]

は、2つの標本のプール分散です。

等しい分散ではないと見なされる場合

通常の2標本の t統計量はt分布ではないので、近似した検定の統計量t'が使われます。

\[t'=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\]

そして、自由度vを持つt分布が、t’の分布の近似に使われます。

\[v=\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}\]

限界値を持つtの値を比較し、次の場合、帰無仮説\(H_0\,\!\)を棄却します。

両側検定： \(|t| > t_{\sigma/2}\,\!\);

上側検定： \(t > t_\sigma\,\!\);

下側検定： \(t < -t_\sigma\,\!\);

p 値もユーザ指定の有意水準, \(\sigma\,\!\)と比較され、その値は通常0.05が使われます。帰無仮説\(H_0\,\!\)は、\(p < \mu\,\!\)の場合棄却されます。

信頼区間

上側と下側\((1-\sigma )\times 100\%\)の平均の相違に対する信頼水準\((\mu_1 - \mu_2)\,\!\)は次のように計算されます。

等しい分散であると見なされる場合

帰無仮説	信頼区間
\[H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\]	\[\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\]	\[\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \infty\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\]	\[\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]\]

等しい分散ではないと見なされる場合

帰無仮説	信頼区間
\[H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\]	\[\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\]	\[\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, \infty\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\]	\[\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]\]

ここで、\(t_{\sigma/2}\,\!\)は自由度vを持つt-分布の限界値です。

検出力解析

2群の t検定の検出力は、その感度の測定です。検出力の計算に関する詳細なアルゴリズムについては、検出力とサンプルサイズヘルプをご覧下さい。

参考文献

2群のt検定の計算は、NAG関数nag_2_sample_t_test (g07cac)を使っています。アルゴリズムについての詳細は、対応するNAG文書を参照して下さい。