Algorithmen (t-Test bei zwei Stichproben)
Inhalt |
Der t-Test bei zwei Stichproben berechnet eine studentisierte t-Statistik und die verbundene Wahrscheinlichkeit, um zu testen, ob die Differenz der zwei Stichprobenmittelwerte gleich /math-12f3be74f7266e038bdf61eb68a6208c.png "\mu_d\,\!")
ist (d.h., zum Testen, ob ihre Mittelwerte gleich sind, können Sie testen, ob ihre Differenz 0, /math-590eba6400c9e4df07e0c234f91e4460.png "\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!")
, ist ). Die Hypothesen haben folgende Form:
/math-f67a81ef315f0c59070ef53cb50b3932.png "H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!")
vs. /math-5c09300d675833793616502094acaa0f.png "H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d")
Beidseitiger Test
/math-1fc800dcea3acfe50f9e90c310b1174a.png "H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d")
vs. /math-0fbc9ae55928f128a94afcf65c2c2e39.png "H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d")
Oberer Test
/math-8d8812a65564ffde40d299d450d3de7f.png "H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d")
vs. /math-9a968e5033dd7110b7973529fa35c85d.png "H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d")
Unterer Test
Teststatistik
Betrachten Sie zwei unabhängige Stichproben, /math-d60f5062564e1ece65993038b62484fa.png "x_1\,\!")
und /math-9defdb27049cde0b5bdfd4e762a02d6b.png "x_2\,\!")
, des Umfangs /math-8d88a43872d6db6535d8672a15f09ce2.png "n_1\,\!")
und /math-2f6fac59fce80e76d698bcf5ea77bab6.png "n_2\,\!")
aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten mit den Mittelwerten /math-4ed789d5f6cd3fea302e306da621cb83.png "\mu_1\,\!")
und /math-917bb8defee48f460766703f23fc0822.png "\mu_2\,\!")
und den Varianzen /math-0c153418ac24896b413d1c3c8ad3e95c.png "\sigma_1^2\,\!")
bzw. /math-f94e0c3605e0ebe3aa890455f27416e5.png "\sigma_2^2\,\!")
, dann haben wir:
/math-6dc73b5670604b65621d1ad70209c678.png "\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{j=1}^{n_1}x_{1j}")
, /math-06a309ba82fba50c69561e78b4ffdf7f.png "\bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2}x_{2j}")
, /math-06931d63b90e0e6a6d7d81d64e149e48.png "s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_{j=1}^{n_1}{(x_{1j}-\bar{x}_1)^2}")
, /math-1ea85773f946cf6770cf4f76022e133d.png "s_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_{j=1}^{n_2}{(x_{2j}-\bar{x}_2)^2}")
wobei /math-875d0b783f9b167155a8f54a2c3f9e6a.png "\bar{x}_1\,\!")
und /math-68dc9b353bc272e9d32196f5e30bff4e.png "\bar{x}_2\,\!")
Stichprobenmittelwerte und /math-f963d3c66aa9a89e64a6db3d0dd63351.png "s_1^2\,\!")
und /math-8a65733320d52c6da4efeeb5888dba00.png "s_2^2\,\!")
Stichprobenvarianzen sind. Danach wird die T-Teststatistik berechnet mit:
Für die gleiche Varianz wird angenommen, das ist /math-3728dc0e9ed8d4ea6c77089a7c1bb2fb.png "\sigma_1^2=\sigma_2^2\,\!")
:
In diesem Fall hat die Teststatistik t
/math-8992dd1682d9d05a300c39478ada35f5.png "t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{s_p\sqrt{(1/n_1+1/n_2)}}")
eine t-Verteilung mit /math-6350a1d09d381cb5b9c2420a49cec064.png "(v = n_1+n_2-2)")
Freiheitsgraden und
/math-49682ab10edeb0f5ed248d7195b85d78.png "s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}")
ist die gemeinsame Varianz der zwei Stichproben.
Für die gleiche Varianz wird nicht angenommen:
In diesem Fall hat die herkömmliche t-Statistik bei zwei Stichproben keine t-Verteilung mehr und keine approximative Teststatistik, t'wird verwendet:
/math-2f3931fdb28db4a39f9b7140cc965c81.png "t'=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}")
Und eine t-Verteilung mit v Freiheitsgraden wird verwendet, um die Verteilung von t' zu approximieren, wobei
/math-fdd079fbba82fc1bb066171f062bab57.png "v=\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}")
Vergleichen Sie den t- Wert mit dem kritischen Wert. Wir weisen /math-806277203dedea2ed8321f6cbd465a54.png "H_0\,\!")
zurück, wenn:
Für beidseitigen Test: /math-dc78eff8d710d926c9d712cebdb408d0.png "|t| > t_{\sigma/2}\,\!")
;
Für oberen Test: /math-b3c71dc9421063ffaf6de1641540a5d5.png "t > t_\sigma\,\!")
;
Für unteren Test: /math-b3c0361ff553afb248a469861134f399.png "t < -t_\sigma\,\!")
;
Der p-Wert wird auch mit einem benutzerdefinierten Signifikanzniveau /math-3ac6004d77c0cc0055e95c99b9dfd7e0.png "\sigma\,\!")
verglichen, für das im Allgemeinen 0,05 verwendet wird. Die Nullhypothese wird zurückgewiesen, wenn /math-350fad5bdd3c28b92d7b6a076336a463.png "p < \mu\,\!")
.
Konfidenzintervalle
Die obere und untere /math-45828455265148a331fe94e5c5175f93.png "(1-\sigma )\times 100\%")
Konfidenzgrenze für die Mittelwertdifferenz /math-32a17f0051e09406b2f689fa5f0bb2c5.png "(\mu_1 - \mu_2)\,\!")
werden berechnet als:
Für die gleiche Varianz wird angenommen:
| Nullhypothese | Konfidenzintervall |
|---|---|
|
![\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-35e508ffa325356798bfeb78b55c5162.png "\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]") |
|
![\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \infty\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-438038a816d1733a3f4947f61e539c61.png "\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \infty\right]") |
|
![\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-043e91f03e23cf4cb47273b881ee6f02.png "\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]") |
Für die gleiche Varianz wird nicht angenommen:
| Nullhypothese | Konfidenzintervall |
|---|---|
|
![\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-1dc3a8412c3e70c868d0def30834cdfd.png "\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]") |
|
![\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, \infty\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-6317c80637d203c8b436ce4d361f825c.png "\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, \infty\right]") |
|
![\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]](/origin-help/de/images/Algorithm_(TwoSampletTest)/math-39eb7689ff8eaf4fc97f74a82869d201.png "\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]") |
wobei /math-f1004b741c7a8310ad2a3b7c0d726855.png "t_{\sigma/2}\,\!")
der kritische Wert der t-Verteilung mit v Freiheitsgraden ist.
Analyse der Trennschärfe
Die Trennschärfe eines t-Tests bei zwei Stichproben ist ein Maß für seine Fehlererkennbarkeit. Einzelheiten zu dem Algorithmus zum Berechnen der Trennschärfe lesen Sie im Abschnitt Trennschärfe und Stichprobenumfang.
Referenz
Der t-Test bei zwei Stichproben wird mit einer Nag-Funktion implementiert, nag_2_sample_t_test (g07cac). Bitte lesen Sie weitere Einzelheiten zu dem Algorithmus im entsprechenden NAG-Dokument nach.