アルゴリズム(対応のあるt検定)

内容 1 検定統計量 2 信頼区間 3 検出力解析

この関数は、2つの対応のある標本の平均の差が \(\mu_d\,\!\) に等しいかどうかを検定するのに使われます。(例：平均が等しいかどうかを検定するには、それらの差が0、\(\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!\) であるかどうかを検定するだけです。)そして、仮説は次の形式をとります。

\(H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\) vs \(H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d\) 両側

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\) vs \(H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d\) 上側

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\) 対 \(H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d\) 下側

検定統計量

正規分布した母集団からとられたと見なされる2つの標本 \(x_1\,\!\) と \(x_2\,\!\) が同じサイズであると考えると、次のように差を定義することができます。

\[d_j=x_{1j}-x_{2j},for(j=1,2,...,n)\,\!\]

そして、それぞれの差の平均は次式で求められます。

\[\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i\]

次に、自由度 v = n−1を持つ対応のあるデータポイント間の差 \(s_d\,\!\) の標準偏差sdを計算できます。

\[s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar{d})}\]

そして検定する統計量を次式で計算します。

\[t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}\]

限界値を持つ t の値を比較し、次の場合、帰無仮説\(H_0\,\!\)を棄却します。

両側検定： \(|t| > t_{\sigma/2}\,\!\);

上側検定： \(t > t_\sigma\,\!\);

下側検定：\(t < -t_\sigma\,\!\);

p 値もユーザ指定の有意水準, \(\sigma\,\!\)と比較され、その値は通常0.05が使われます。\(p < \sigma\,\!\)の場合、帰無仮説\(H_0\,\!\) が棄却されます。

信頼区間

対応のある標本の平均の差 \((\mu_1 - \mu_2)\,\!\) の信頼区間は、次のようになります。

帰無仮説	信頼区間
\[H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\]	\[\left[\bar{d} - t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \bar{d} + t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\]	\[\left[\bar{d} - t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \infty\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\]	\[\left[-\infty, \bar{d} + t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]\]

検出力解析

2標本の t検定の検出力は、その感度の測定です。検出力の計算に関する詳細なアルゴリズムについては、検出力とサンプルサイズのヘルプをご覧下さい。