アルゴリズム(対応のあるt検定)

内容


この関数は、2つの対応のある標本の平均の差が \mu_d\,\! に等しいかどうかを検定するのに使われます。(例：平均が等しいかどうかを検定するには、それらの差が0、\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\! であるかどうかを検定するだけです。)そして、仮説は次の形式をとります。

H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\! vs H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d 両側

H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d vs H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d 上側

H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d 対 H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d 下側

検定統計量

正規分布した母集団からとられたと見なされる2つの標本 x_1\,\! と x_2\,\! が同じサイズであると考えると、次のように差を定義することができます。

d_j=x_{1j}-x_{2j},for(j=1,2,...,n)\,\!

そして、それぞれの差の平均は次式で求められます。

\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i

次に、自由度 v = n−1を持つ対応のあるデータポイント間の差 s_d\,\! の標準偏差sdを計算できます。

s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar{d})}

そして検定する統計量を次式で計算します。

t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

限界値を持つ t の値を比較し、次の場合、帰無仮説H_0\,\!を棄却します。

両側検定： |t| > t_{\sigma/2}\,\!;

上側検定： t > t_\sigma\,\!;

下側検定：t < -t_\sigma\,\!;

p 値もユーザ指定の有意水準, \sigma\,\!と比較され、その値は通常0.05が使われます。p < \sigma\,\!の場合、帰無仮説H_0\,\! が棄却されます。

信頼区間

対応のある標本の平均の差 (\mu_1 - \mu_2)\,\! の信頼区間は、次のようになります。

帰無仮説 信頼区間
H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\! \left[\bar{d} - t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \bar{d} + t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]
H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d \left[\bar{d} - t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \infty\right]
H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d \left[-\infty, \bar{d} + t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]

検出力解析

2標本の t検定の検出力は、その感度の測定です。検出力の計算に関する詳細なアルゴリズムについては、検出力とサンプルサイズのヘルプをご覧下さい。