Algorithmen (t-Test bei verbundenen Stichproben)

Inhalt 1 Teststatistik 2 Konfidenzintervalle 3 Analyse der Trennschärfe

Diese Funktion wird verwendet, um zu testen, ob die Mittelwertdifferenz von zwei verbundenen Stichproben gleich \(\mu_d\,\!\) ist (d.h., um zu prüfen, ob ihre Mittelwerte gleich sind, können Sie einfach testen, ob ihre Differenz 0 ist, \(\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!\)). Die Hypothesen haben folgende Form:

\(H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\) vs. \(H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d\)Beidseitiger Test

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\) vs. \(H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d\)Oberer Test

\(H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\) vs. \(H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d\)Unterer Test

Teststatistik

Gehen Sie von zwei Stichproben \(x_1\,\!\) und \(x_2\,\!\) aus, von denen angenommen wird, dass sie aus Grundgesamtheiten mit Normalverteilung stammen und die gleiche Größe haben. Dann kann die Differenz der verbundenen Stichproben definiert werden als:

\[d_j=x_{1j}-x_{2j},for(j=1,2,...,n)\,\!\]

Die mittlere verbundene Differenz beträgt:

\[\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i\]

Dann können wir die Standardabweichung für die Differenz zwischen den verbundenen Datenpunkten \(s_d\,\!\) berechnen mit v = n-1 Freiheitsgraden als:

\[s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar{d})}\]

Danach wird die Teststatistik berechnet mit:

\[t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}\]

Vergleichen Sie den t- Wert mit dem kritischen Wert. Wir weisen \(H_0\,\!\) zurück, wenn:

Für beidseitigen Test: \(|t| > t_{\sigma/2}\,\!\);

Für oberen Test: \(t > t_\sigma\,\!\);

Für unteren Test: \(t < -t_\sigma\,\!\);

Der p-Wert wird auch mit einem anwenderdefinierten Signifikanzniveau \(\sigma\,\!\) verglichen, für das im Allgemeinen 0,05 verwendet wird. Die Nullhypothese \(H_0\,\!\) wird zurückgewiesen, wenn \(p < \sigma\,\!\).

Konfidenzintervalle

Das Konfidenzintervall für die Mittelwertdifferenz bei verbundenen Stichproben \((\mu_1 - \mu_2)\,\!\) ist:

Nullhypothese	Konfidenzintervall
\[H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!\]	\[\left[\bar{d} - t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \bar{d} + t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d\]	\[\left[\bar{d} - t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \infty\right]\]
\[H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d\]	\[\left[-\infty, \bar{d} + t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]\]

Analyse der Trennschärfe

Die Trennschärfe eines t-Tests bei zwei Stichproben ist ein Maß für seine Fehlererkennbarkeit. Einzelheiten zu dem Algorithmus zum Berechnen der Trennschärfe lesen Sie im Abschnitt Trennschärfe und Stichprobenumfang.