Algorithmen (Test auf Varianzen bei einer Stichprobe)

Angenommen, \(\sigma\,\!\) ist die Varianz der Stichprobe \(x\,\!\) und \(\sigma_0\,\!\) ist die hypothetische Varianz, dann testet diese Funktion die Hypothesen:

\(H_0:\sigma = \sigma_0\,\!\) vs. \(H_1:\sigma \ne \sigma_0\,\!\)

\(H_0:\sigma\le\sigma_0\) vs. \(H_1:\sigma > \sigma_0\,\!\)

\(H_0:\sigma\ge\sigma_0\) vs. \(H_1:\sigma < \sigma_0\,\!\)

Teststatistik

Zum Vergleichen der Varianz berechnen wir zuerst den Wert des Chi-Quadrats mit:

\[x^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\]

wobei \(s^2\,\!\) die Varianz der Stichprobe ist. Bei einem gegebenen Signifikanzniveau \(\alpha\,\!\) weisen wir die Nullhypothese \(H_0\,\!\) zurück, wenn:

\(|x^2| \ne \chi_{\alpha/2}^2\,\!\), für beidseitigen Test

\(x^2>\chi_\alpha^2\), für oberen Test

\(x^2<\chi_{1-\alpha}^2\), für unteren Test

Konfidenzintervalle

Und das Konfidenzintervall für die Stichprobenvarianz kann erzeugt werden als:

Nullhypothese	Konfidenzintervall
\[H_0:\sigma = \sigma_0\,\!\]	\[\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{(\alpha/2,n-1)}^2}} \le \sigma \le \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{(1-\alpha/2,n-1)}^2}}\]
\[H_0:\sigma\le\sigma_0\]	\[\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{(\alpha,n-1)}^2}} \le \sigma \le \infty\]
\[H_0:\sigma\ge\sigma_0\]	\[0 \le \sigma \le \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{(1-\alpha,n-1)}^2}}\]