アルゴリズム (三元配置分散分析)

三元配置分散分析の理論

N 個の観測値が3つの因子、Iレベルの因子A、Jレベルの因子B、Kレベルの因子Cと関連しているものとします。

$y_{hijk}\,\!$ を因子Aのレベルi 、因子Bのレベル j 、因子Cのレベル k でのh 番目の観測値を表すものとすると、三元配置分散分析モデルは下記のようになります。

$y_{hijk}=\mu +\alpha _i+\beta _j+\gamma _k+(\alpha\beta)_{ij}+(\alpha\gamma)_{ik}+(\beta\gamma)_{jk}+(\alpha\beta\gamma)_{ijk}+\varepsilon _{hijk}$

ここで $\mu \,\!$ は全応答データの平均、 $\alpha _i\,\!$ は因子Aのレベルi での偏差、 $\beta _j\,\!$ は因子Bのレベルj での偏差、 $\gamma _k\,\!$ は因子Cのレベルk での偏差、 $(\alpha\beta)_{ij}\,\!$ は因子AとB間の相互作用項、 $(\alpha\gamma)_{ij}\,\!$ は因子AとC間の相互作用項、 $(\beta\gamma)_{ij}\,\!$ は因子BとC間の相互作用項、 $(\alpha\beta\gamma)_{ijk}\,\!$ は因子A、B、C間の相互作用項、 $\varepsilon _{hijk}\,\!$ は誤差項です。

三元配置の分散分析では、モデルを指定できます。例えば、項 $(\alpha\beta)_{ij}\,\!$ を除外でき(その場合、項 $(\alpha\beta\gamma)_{ijk}\,\!$ は自律的に除外されます)、モデルは以下のようになります。

$y_{hijk}=\mu +\alpha _i+\beta _j+\gamma _k+(\alpha\gamma)_{ik}+(\beta\gamma)_{jk}+\varepsilon _{hijk}$

指定されたモデルのサンプル偏差は、いわゆる計画行列の手法で生成されます。サンプルとして全てのモデルについて述べると、この手法の処理の要約は、以下の通りです。

全モデルの自由度は $df_{Model}=IJK-1$ です。全計画行列は $X := X_{N\times df_{Model}} = [X_\mu |X_A |X_B |X_C |X_{AB} |X_{AC} |X_{BC} |X_{ABC}]$ 、ここで、 $X_\mu$ は $\mu$ の副計画行列で、これは通常全て "1" で構成され、他の副計画行列はそれぞれの添え字が意味するものです。 $X_{-*}$ が関連する0の副計画行列の置換によって表現されるとします。例えば、 $X_{-AB} = [X_\mu |X_A |X_B |X_C |0 |X_{AC} |X_{BC} |X_{ABC}]$

定義

$R_0 = Y^T X_{\mu}(X_{\mu}^T X_{\mu})^{-1}X_{\mu}^T Y$

$R_\mu = Y^T Y$

$R_{Model} = Y^T X(X^T X)^{-1}X^T Y$

$R_A = Y^T X_{-A}(X_{-A}^T X_{-A})^{-1}X_{-A}^T Y$

$R_B = Y^T X_{-B}(X_{-B}^T X_{-B})^{-1}X_{-B}^T Y$

$R_C = Y^T X_{-C}(X_{-C}^T X_{-C})^{-1}X_{-C}^T Y$

$R_{AB} = Y^T X_{-AB}(X_{-AB}^T X_{-AB})^{-1}X_{-AB}^T Y$

$R_{AC} = Y^T X_{-AC}(X_{-AC}^T X_{-AC})^{-1}X_{-AC}^T Y$

$R_{BC} = Y^T X_{-BC}(X_{-BC}^T X_{-BC})^{-1}X_{-BC}^T Y$

$R_{ABC} = Y^T X_{-ABC}(X_{-ABC}^T X_{-ABC})^{-1}X_{-ABC}^T Y$

二乗誤差の合計は、

$SS_A = R_{Model}-R_A$

$SS_B = R_{Model}-R_B$

$SS_C = R_{Model}-R_C$

$SS_{AB} = R_{Model}-R_{AB}$

$SS_{AC} = R_{Model}-R_{AC}$

$SS_{BC} = R_{Model}-R_{BC}$

$SS_{ABC} = R_{Model}-R_{ABC}$

$SS_{Error} = R_{\mu}-R_{Model}$

$SS_{Total} = R_{\mu}-R_{0}$

全モデルでは、ANOVA表は以下のようにまとめることができます。

分散の入力	自由度 (DF)	平方和 (SS)	平均平方 (MS)	F 値	Prob > F
因子A	I - 1	$SS_A$	$MS_A$	$MS_A$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{(I-1,df_e,\alpha )}\}$
因子B	J - 1	$SS_B$	$MS_B$	$MS_B$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{(J-1,df_e,\alpha )}\}$
因子C	K - 1	$SS_C$	$MS_C$	$MS_C$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{(K-1,df_e,\alpha )}\}$
A*B	(I- 1) (J - 1)	$SS_{AB}$	$MS_{AB}$	$MS_{AB}$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{((I-1)(J-1),df_e,\alpha )}\}$
A*C	(I- 1) (K - 1)	$SS_{AC}$	$MS_{AC}$	$MS_{AC}$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{((I-1)(K-1),df_e,\alpha )}\}$
B*C	(J- 1) (K - 1)	$SS_{BC}$	$MS_{BC}$	$MS_{BC}$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{((J-1)(K-1),df_e,\alpha )}\}$
ABC	(I- 1) (J - 1)(K - 1)	$SS_{ABC}$	$MS_{ABC}$	$MS_{ABC}$ / $MS_{Error}$	$P\{F\geq F_{((I-1)(J-1)(K-1),df_e,\alpha )}\}$
誤差	$df_e$ =N-IJK	$SS_{Error}$	$MS_{Error}$
合計	N - 1	$SS_{Total}$

複数の平均比較

Originでは、平均比較にさまざまな方法があり、これはocstat_dlsm_mean_comparison() 関数を使って行っています。

複数の平均の比較法の2種類がOriginに含まれています。

シングルステップ法これは、Tukey-Kramer, Bonferroni, Dunn-Sidak, Fisher’s LSD, Schefféを含む、平均がどの程度違うのかを示すために信頼区間を作成します。

ステップワイズ法Holm-Bonferroni 、Holm-Sidak 検定を含む仮説検定を実行します。

検出力解析

検出力分析は、サンプルデータに対する仮説の検出力だけでなく、実際の検出力を計算します。

三元配置ANOVAの検出力は、その敏感度の計測です。検出力は、ANOVAが実際の差があるときの標本の平均の差を検出するものです。帰無仮説および対立仮説に関して、検出力は検定する統計量 F が、実際に帰無仮説を棄却すべき(例：与えられた帰無仮説が真でない)ときに、帰無仮説を棄却するのに十分であるという確率です。

Originの三元配置ANOVAダイアログは、因子A、因子Bおよび因子C に対する検出力を計算します。特定の交差項が選択された場合もOriginは検出力を計算します。

検出力は次式で定義されます。

$power=1-probf(f,df,dfe,nc)\,\!$

ここで f は、非中心の F-分布の偏りで、このF分布は自由度df および dfe と nc = SS/MSEを持ちます。SS はA, B, C, A*B, A*C, B*C, A*B*Cの二乗和で、MSEは誤差の平均平方、 df は分子の自由度、dfe は誤差の自由度です。全ての値(SS, MSE, df, dfe) は、ANOVA表で取得できます。probf( ) の値が、NAG関数nag_prob_non_central_f_dist (g01gdc)で取得されます。詳細はNAG文書をご覧ください。