Algorithmen (ROC-Kurve)
Inhalt
In diesen Teil werden die folgenden Schreibweisen verwendet.
/math-d2583020b138319a535bc3c88278ab33.png "x_i\,\!")
: Testergebnis Score für Fall
/math-d750fff2ef5c4d25bcff29719305177a.png "n_{TP}\,\!")
: Anzahl der wahren positiven Entscheidungen
/math-254cedc4e5a3c839360558b23ca648c2.png "n_{FN}\,\!")
: Anzahl der falschen negativen Entscheidungen
/math-12495e96208687e2494a1d6350363ce4.png "n_{TN}\,\!")
: Anzahl der wahren negativen Entscheidungen
/math-4dd508cc11a3900faec0a3ce7e098751.png "n_{FP}\,\!")
: Anzahl der falschen positiven Entscheidungen
/math-a3b41b80fce655f49856414c7f15b33e.png "n_{-}\,\!")
: Anzahl der Fälle mit negativem tatsächlichen Zustand
/math-79621c4d3dee617c6ee30941cff7dd5a.png "n_{+}\,\!")
: Anzahl der Fälle mit positivem tatsächlichen Zustand
/math-482fbd5c0104c0420e4348e592886424.png "n_{-=j}\,\!")
: Anzahl der wahren negativen Fälle mit Testergebnissen, die gleich sind mit
/math-5663bbf004c70b4058e4c35f50e38375.png "n_{+>j}\,\!")
: : Anzahl der wahren positiven Fälle mit Testergebnissen größer als
/math-b821d677c6db926aa8b8a3208114b77b.png "n_{+=j}\,\!")
: : Anzahl der wahren positiven Fälle mit Testergebnissen, die gleich sind mit
/math-962c20beac8eb76e37067599eefebfda.png "n_{-<j}\,\!")
: : Anzahl der wahren negativen Fälle mit Testergebnissen kleiner als
ROC-Werte
1- Spezifizität (X): /math-0c5a60aa9d534a69c504fac187790c07.png "1-\frac{n_{TN}}{n_{TN}+n_{FP}}\,\!")
Sensitivität (Y): /math-0760bde0cf79e5793835075ee3d2bcdd.png "\frac{n_{TP}}{n_{TP}+n_{FN}}\,\!")
Der Bereich unter der ROC-Kurve
Angenommen, /math-6373accf16c083723e8abae2f5401af2.png "x\,\!")
ist die Skalierung der Testergebnisvariable. Bezeichnen Sie /math-2d4dd525bc7143c51992574674cba150.png "x_{-}\,\!")
mit den Werten für Fälle mit negativem tatsächlichen Zustand und mit den Werten /math-2c52673b83cb8d0bac1cb71c716fb95b.png "x_{+}\,\!")
für Fälle mit positivem tatsächlichen Zustand. Die nichtparametrische Approximation der "wahren” Fläche unter der ROC-Kurve /math-0a5000fe8b6b5570dd5a1ce00b828ef6.png "\theta \,\!")
ist
/math-5f79866cf3c0dc05169d11fdd67fd6d7.png "A_Z=\frac 1{n_{+}n_{-}}")
/math-569223521931231c409785c91f0084b2.png "\sum_{j=1}^{n_{-}}\sum _{i=1}^{n_{+}}\Psi (x_{+},x_{-})")
wobei der Stichprobenumfang von /math-a7c6c783c5d03fc91d0594b217f56580.png "D\,\!")
+ ist, der Stichprobenumfang von - ist und
/math-0889c138e945599aafd7573b2404ee0e.png "\Psi (x_{+},x_{-})=\,\!")
/math-3fd91dcf034941370a5ed5d855390a84.png "\begin{cases} 1, & \mbox{if }x_{+}>x_{-} \\ 0.5, & \mbox{if }x_{+}=x_{-} \\ 0, & \mbox{if }x_{+}<x_{-} \end{cases}")
Beachten Sie, dass /math-695617aa4d2b4e1c93f4ffa59c529d83.png "A_z\,\!")
der beobachtete Bereich unter der ROC-Kurve ist, der aufeinander folgende Punte mit einer geraden Linie verbindet. d.h. durch die Trapezregel.
Eine alternative Berechnungsmöglichkeit für ist folgende:
/math-1ea8d817ad6b5f332af7ec49c30dc22d.png "A_Z=\frac 1{n_{+}+n_{-}}\sum \left\{ n_{-=j}n_{+>j}+\frac{n_{-=j}n_{+=j}}2\right\}")
Der SE des Bereichs unter der Statistik der ROC-Kurve
Die Standardabweichung von wird geschätzt mit:
/math-fde8eb47f42d8792fdc2e76131a46863.png "SE(A_Z)=\sqrt{\frac{A_Z(1-A_Z)+(n_{+}-1)(Q_1-A_Z^2)+(n_{-}-1)(Q_2-A_Z^2)}{n_{+}n_{-}}} \,\!")
wobei
![Q_{1=\frac 1{n_{-}n_{+}^2}}\sum n\__{=j}[n_{+>j}^2+n_{+>j}n_{+=j}+\frac{n_{+>j}^2}3] \,\!](/origin-help/de/images/Algorithm_(ROCCurve)/math-99adafc3fccb24a1cf7264ad44e4e60a.png "Q_{1=\frac 1{n_{-}n_{+}^2}}\sum n\__{=j}[n_{+>j}^2+n_{+>j}n_{+=j}+\frac{n_{+>j}^2}3] \,\!")
und
![Q_{2=\frac 1{n_{-}^2n_{+}}}\sum n_{+=j}[n_{->j}^2+n_{->j}n_{-=j}+\frac{n_{-=j}^2}3] \,\!](/origin-help/de/images/Algorithm_(ROCCurve)/math-aafdd6330c76e9cd18c4af812cd53052.png "Q_{2=\frac 1{n_{-}^2n_{+}}}\sum n_{+=j}[n_{->j}^2+n_{->j}n_{-=j}+\frac{n_{-=j}^2}3] \,\!")
Das asymptotische Konfidenzintervall des Bereichs unter der ROC-Kurve
Ein 2-seitiges asymptotisches /math-76c3dffd80c7fb9b863984e4f4d30b71.png "c\%=(100-\alpha )\%\,\!")
Konfidenzintervall für den wahren Bereich unter der ROC-Kurve ist
/math-235de6eb21ed53705c7979a6ce5fb929.png "A_Z\pm SE(A_Z)\,\!")
Der asymptotische P-Wert unter der Nullhypothese, dass /math-da8f6f3f8ae6e03c2be19875f1fb8083.png "\theta=0,5\ \,\!")
, vs. die Alternativhypothese, dass /math-8d97b516153b32dc87de1d6354170e6f.png "\theta \neq 0,5\ \,\!")
Da asymptotisch normal unter der Nullhypothese ist, dass , können wir den asymptotischen P-Wert unter der Nullhypothese berechnen, dass vs. die Alternativhypothese, dass
/math-d39e6085797aa9607fe719b7472fb2e7.png "P\left( \left| Z\right| >\left| \frac{A_Z-0,5}{SD(A_Z)|_{\theta =0,5}}\right| \right) =2P\left( Z>\left| \frac{A_Z-0,5}{SD(A_Z)\mid _{\theta =0,5}}\right| \right)")
Im nichtparametrischen Fall
/math-72938a409015c7ed5745f164b9c6bd99.png "SD(A_Z)|_{\theta =0,5}=\sqrt{\frac{\theta (1-\theta )+(n_{+}-1)(Q_1-\theta ^2)+(n_{-}-1)(Q_2-\theta ^2)}{n_{+}n_{-}}}|_{\theta =0,5}\,\!")
/math-bc5a5645b9c414917dd8c39d32c961c6.png "=\sqrt{\frac{0,5(1-0,5)+(n_{+}-1)(\frac 13-0,5^2)+(n_{-}-1)(\frac 13-0,5^2)}{n_{+}n_{-}}}")
Optimaler Grenzpunktwert
Der Grenzpunktwert wird durch die Gleichheitsmaximierung dieser zwei Größen (SpEqualSe) definiert. Das ist min( abs(1-x-y) ) für die ROC-Kurve.