アルゴリズム(繰り返し測定のある分散分析)

内容

1 繰り返しのある一元配置/二元配置
2 二元配置混合モデル

繰り返しのある一元配置/二元配置

一元配置、二元配置のバランスのとれた繰り返し測定のある分散分析のアルゴリズムは、Repeated Measures ANOVA.pdfを確認してください。

二元配置混合モデル

多変量解析

モデルの考え：被験者要因Aと他の被験者要因Bの二元配置混合モデルのRM ANOVA

$k$ を因子Aのレベル数、 $p$ を因子Bのレベル数、 $n_i$ を因子Aのレベルiの被験者数、 $y_{ij}^{T} = (y_{ij1},...,y_{ijp})$ をj番目の被験者と因子Aのレベルiの観測とします。

誤差行列を次のように定義します： $E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y_{i.}})(y_{ij}-\bar{y_{i.}})^{T},$ 仮説行列は： $H = \sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})^{T},$ 遮断の仮設行列は： $H_{int} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}}(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})^{T},$

ここで

$y_{i.} = \sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, y_{..} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, \bar{y_{i.}} = \frac{y_{i.}}{n_i}, \bar{y_{..}} = \frac{y_{..}}{N}$ および $N = \sum_{i=1}^{k}n_i.$

自由度は $d_E = N-k$ および $d_H = k-1$ で計算されます。

因子Aのレベル平均のベクトルを $\mu_1,...,\mu_k$ とし、 $\bar{\mu_.} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\mu_i.$ とします。

因子B中の主な効果

対比行列は

$B_{(p-1)\times p}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \end{bmatrix}.$

$H_0: B\bar{\mu_.}$ を検定するために、Wilks' Lambda, Hotelling-Lawley Trace, Pillai's Trace, Roy's Largest Rootを計算できます。The SS&CPs are:

$S_H = BH_{int}B^{T},S_E = BEB^{T}.$

Note:全ての二乗和がタイプⅢをベースにして計算されます。

B*Aの交互作用効果

帰無仮説は $H_0: B\mu_1 = B\mu_2 = \cdots = B\mu_k = 0.$ SS&CPs は:

$S_H = BHB^{T},S_E = BEB^{T}.$

Mauchlyの球面性検定

計画行列は

$X = \begin{bmatrix} 1_{n_1\times 1} & 1_{n_1\times 1} & & & \\ 1_{n_2\times 1} & & 1_{n_2\times 1} & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 1_{n_k\times 1} & & & & 1_{n_k\times 1} \end{bmatrix}.$

残差行列は $R = Y - X\left( (X^TX)^{-1}XY \right).$ で生成されます。

$M$ を、次のようにセットできる $(p-1)\times p$ の直行行列とします。

$M = \begin{bmatrix} p-1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ 0 & p-2 & \cdots & -1 & -1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \end{bmatrix}.$

$T = M(R^TR)M^T.$ のようにします。

$d=p-1, \tau=\frac{2d^2+d+2}{6d}-N-r_X, \varsigma = \frac{(d+2)(d-1)(d-2)(2d^3+6d^2+3d+2)}{288d^2\tau^2}.$ ここで $r_X = rank(X).$

Mauchly's W統計は

$W = \frac{det(T)}{(tr(T)/d)^d}.$

カイ二乗検定値は、自由度 $df = d(d+1)/2-1.$ の $\chi^2 = \ln(W)\tau$ です。

Greenhouse-Geisser

$\varepsilon_{gg} = \frac{tr(T)^2}{tr(T^TT)d}.$

Huynh-Feldt

$\varepsilon_{hf} = \min\left( \frac{nd\varepsilon_{gg}-2}{d(N-r_X)-d^2\varepsilon_{gg}} , 1\right).$

下限

$\varepsilon_{lb} = \frac{1}{d}.$

Roy's Largest Root

Within と Between 検定

基本的な計算

合計の二乗和

$SS_T = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{...}})^2,$ 自由度 $df = Np-1.$

因子A間の二乗和

$SS_A = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{ik.}}-\bar{y_{...}})^2,$ 自由度 $df = N-1.$

因子B内の二乗和

$SS_B = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{ik.}})^2,$ 自由度 $df = Np-N.$

ここで

$\bar{y_{i..}} = \frac{1}{n_ip}\sum_{k,j}y_{ikj}, \bar{y_{...}} = \frac{1}{Np}\sum_{i,k,j}y_{ikj}, \bar{y_{..j}} = \frac{1}{N}\sum_{i,k}y_{ikj}, \bar{y_{i.j}} = \frac{1}{n_i}\sum_{k}y_{ikj}, \bar{y_{ik.}} = \frac{1}{p}\sum_{j}y_{ikj}, N = \sum_{i=1^{k}}n_i .$