Algorithmen (ANOVA mit wiederholten Messungen)

Inhalt


Einfache/Zweifache ANOVA mit wiederholten Messungen

Einzelheiten zu den Algorithmen für das einfache und zweifache balancierte Design mit wiederholten Messungen finden Sie in dem Dokument Repeated Measures ANOVA.pdf.

Zweifaches gemischtes Design

Multivariate Tests

Betrachten des Modells: Zweifache ANOVA mit gemischtem Design und mit wiederholten Messungen bei einem Faktor A zwischen den Subjekten und einen anderen Faktor B innerhalb der Subjekte

\(k\) sei die Anzahl der Stufen für Faktor A. \(p\) sei die Anzahl der Stufen für Faktor B. \(n_i\) sei die Anzahl der Subjekte mit der i-ten Stufe von Faktor A. \(y_{ij}^{T} = (y_{ij1},...,y_{ijp})\) seien die Beobachtungen hinsichtlich des j-ten Subjekts und der i-ten Stufe von Faktor A.

Definieren Sie die Fehlermatrix mit: \(E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y_{i.}})(y_{ij}-\bar{y_{i.}})^{T},\) und die Hypothesenmatrix mit: \(H = \sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})^{T},\) und die Hypothesenmatrix einschließlich Schnittpunkt mit der Y-Achse mit: \(H_{int} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}}(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})^{T},\)

wobei

\(y_{i.} = \sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, y_{..} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, \bar{y_{i.}} = \frac{y_{i.}}{n_i}, \bar{y_{..}} = \frac{y_{..}}{N}\) und \(N = \sum_{i=1}^{k}n_i.\)

Der Freiheitsgrad kann durch \(d_E = N-k\) bzw. \(d_H = k-1\) ermittelt werden.

Angenommen, die Mittelwertvektoren der Stufen von Faktor A seien \(\mu_1,...,\mu_k\), außerdem sei \(\bar{\mu_.} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\mu_i.\)

Haupteffekt von innerhalb Faktor B

Die Kontrastmatrix sei

\[ B_{(p-1)\times p}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \end{bmatrix}. \]

Um \(H_0: B\bar{\mu_.}\) zu testen, können Sie die Werte für Wilks' Lambda, Hotelling-Spur, Pillai-Spur und die größte charakteristische Wurzel nach Roy berechnen. Die SS&CPs lauten:

\[S_H = BH_{int}B^{T},S_E = BEB^{T}.\]

Hinweise: Alle Quadratsummen werden auf Basis von Typ III berechnet.

Wechselwirkungseffekt von B*A

Die Nullhypothese ist \(H_0: B\mu_1 = B\mu_2 = \cdots = B\mu_k = 0.\). Die SS&CPs lauten:

\[S_H = BHB^{T},S_E = BEB^{T}.\]

Mauchly-Test der Sphärizität

Die Designmatrix sei

\[ X = \begin{bmatrix} 1_{n_1\times 1} & 1_{n_1\times 1} & & & \\ 1_{n_2\times 1} & & 1_{n_2\times 1} & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 1_{n_k\times 1} & & & & 1_{n_k\times 1} \end{bmatrix}. \]

Die Residuenmatrix wird ermittelt durch \(R = Y - X\left( (X^TX)^{-1}XY \right).\)

\(M\) sei die \((p-1)\times p\) orthogonale Matrix, die folgendermaßen festgelegt werden kann

\[ M = \begin{bmatrix} p-1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ 0 & p-2 & \cdots & -1 & -1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \end{bmatrix}. \]

Es wird angenommen, dass \(T = M(R^TR)M^T.\)

\(d=p-1, \tau=\frac{2d^2+d+2}{6d}-N-r_X, \varsigma = \frac{(d+2)(d-1)(d-2)(2d^3+6d^2+3d+2)}{288d^2\tau^2}.\) sei hier \(r_X = rank(X).\)

Dann ist die W-Statistik nach Mauchly

\[W = \frac{det(T)}{(tr(T)/d)^d}.\]

Der Wert des Chi-Quadrat-Tests ist \(\chi^2 = \ln(W)\tau\) mit Freiheitsgrad. \(df = d(d+1)/2-1.\)

\[\varepsilon_{gg} = \frac{tr(T)^2}{tr(T^TT)d}.\]

\[\varepsilon_{hf} = \min\left( \frac{nd\varepsilon_{gg}-2}{d(N-r_X)-d^2\varepsilon_{gg}} , 1\right). \]

\[\varepsilon_{lb} = \frac{1}{d}.\]

Tests der Effekte Innerhalb und Zwischen

Einige grundlegende Berechnungen:

\(SS_T = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{...}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = Np-1.\)

\(SS_A = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{ik.}}-\bar{y_{...}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = N-1.\)

\(SS_B = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{ik.}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = Np-N.\)

wobei

\[\bar{y_{i..}} = \frac{1}{n_ip}\sum_{k,j}y_{ikj}, \bar{y_{...}} = \frac{1}{Np}\sum_{i,k,j}y_{ikj}, \bar{y_{..j}} = \frac{1}{N}\sum_{i,k}y_{ikj}, \bar{y_{i.j}} = \frac{1}{n_i}\sum_{k}y_{ikj}, \bar{y_{ik.}} = \frac{1}{p}\sum_{j}y_{ikj}, N = \sum_{i=1^{k}}n_i .\]

Tests der Effekte innerhalb von Subjekten

\(SSW_B = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{..j}}-\bar{y_{...}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = p-1.\)

\(SSW_{AB} = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{i.j}}-\bar{y_{i..}} - \bar{y_{..j}} + \bar{y_{...}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = (k-1)(p-1).\)

\(SSW_{E} = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{i.j}} - \bar{y_{ik.}} + \bar{y_{i..}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = (N-k)(p-1).\)

Tests der Effekte zwischen Subjekten

\(SSB_{int1} = \frac{p}{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}}\left( \sum_{i}\sum_{k}\frac{\bar{y_{ik.}}}{n_i} \right)^2 ,\) mit Freiheitsgrad \(df = k-1.\)

\(SSB_{int0} = (X_{A}^{T}X_{A})^{-1}X_{A}^{T}Y ,\) mit Freiheitsgrad \(df = k-1.\) Hier ist \(X_A\) die Designmatrix, die mit Effekt A verbunden ist, während \(Y\) eine \(Np \times 1\) Matrix ist, die die Indexdaten darstellt.

\(SSB_B = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{i..}}-\bar{y_{...}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = k-1.\)

\(SSB_E = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{ik.}}-\bar{y_{i..}})^2,\) mit Freiheitsgrad \(df = N-k.\)

Mehrfache Mittelwertvergleiche

Es gibt verschiedene Methoden des Mittelwertvergleichs in Origin. Wir verwenden die NAG-Funktion ocstat_dlsm_mean_comparison(), um Mittelwertvergleiche durchzuführen.

Zwei Typen des mehrfachen Mittelwertvergleichs:

Einzelschrittmethode Sie erstellt simultane Konfidenzintervalle, um zu zeigen, wie sich die Mittelwerte unterscheiden. Dazu gehören Tukey-Kramer, Bonferroni, Dunn-Sidak, Fisher’s LSD und Scheffé.

Schrittweise Methode Führt nacheinander die Hypothesentests aus. Dazu gehören der Holm-Bonferroni- und der Holm-Sidak-Test.