Algorithmen (ANOVA mit wiederholten Messungen)
Inhalt |
Einfache/Zweifache ANOVA mit wiederholten Messungen
Einzelheiten zu den Algorithmen für das einfache und zweifache balancierte Design mit wiederholten Messungen finden Sie in dem Dokument Repeated Measures ANOVA.pdf.
Zweifaches gemischtes Design
Multivariate Tests
Betrachten des Modells: Zweifache ANOVA mit gemischtem Design und mit wiederholten Messungen bei einem Faktor A zwischen den Subjekten und einen anderen Faktor B innerhalb der Subjekte
/math-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png "k")
sei die Anzahl der Stufen für Faktor A. /math-83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png "p")
sei die Anzahl der Stufen für Faktor B. /math-584a81dbf5bf6aa737ba43567ad6307b.png "n_i")
sei die Anzahl der Subjekte mit der i-ten Stufe von Faktor A. /math-09614e75034336faafa6e5823ad3ac4c.png "y_{ij}^{T} = (y_{ij1},...,y_{ijp})")
seien die Beobachtungen hinsichtlich des j-ten Subjekts und der i-ten Stufe von Faktor A.
Definieren Sie die Fehlermatrix mit: /math-c2a24e957187868f7a5f66aea335e309.png "E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y_{i.}})(y_{ij}-\bar{y_{i.}})^{T},")
und die Hypothesenmatrix mit: /math-5c05e9d7e58f8f010d395cbd393b7720.png "H = \sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})(\bar{y_{i.}}-\bar{y_{..}})^{T},")
und die Hypothesenmatrix einschließlich Schnittpunkt mit der Y-Achse mit: /math-e268b25cdd6f0588e185ac750ec02fff.png "H_{int} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}}(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})(\sum_{i=1}^{k}\frac{y_{i.}}{n_i})^{T},")
wobei
/math-6ed86e6cc990b9d1af993d4c0927715f.png "y_{i.} = \sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, y_{..} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}, \bar{y_{i.}} = \frac{y_{i.}}{n_i}, \bar{y_{..}} = \frac{y_{..}}{N}")
und /math-eb5752fb3802a9a7960258fdf838eb2d.png "N = \sum_{i=1}^{k}n_i.")
Der Freiheitsgrad kann durch /math-fb02db9e63440cd2e05d80f42d461504.png "d_E = N-k")
bzw. /math-74801925a7dfba9046ad170e97859025.png "d_H = k-1")
ermittelt werden.
Angenommen, die Mittelwertvektoren der Stufen von Faktor A seien /math-3de7e1b2c368a355b1e2304c7eea22a0.png "\mu_1,...,\mu_k")
, außerdem sei /math-bdd78b6a720ed92a3892028772a4577f.png "\bar{\mu_.} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\mu_i.")
Haupteffekt von innerhalb Faktor B
Die Kontrastmatrix sei
/math-b8927dc7ffec56da7d89517bdf88c99f.png "B_{(p-1)\times p}=\begin{bmatrix}
1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1 & -1
\end{bmatrix}.")
Um /math-182b16b132638a9d5f73df5455c7e79f.png "H_0: B\bar{\mu_.}")
zu testen, können Sie die Werte für Wilks' Lambda, Hotelling-Spur, Pillai-Spur und die größte charakteristische Wurzel nach Roy berechnen. Die SS&CPs lauten:
/math-0a7eeb38a8d6559fc2d585c56ef2a178.png "S_H = BH_{int}B^{T},S_E = BEB^{T}.")
Hinweise: Alle Quadratsummen werden auf Basis von Typ III berechnet.
Wechselwirkungseffekt von B*A
Die Nullhypothese ist /math-d5a9ebbbdd2249c50f21c02d80b0ee99.png "H_0: B\mu_1 = B\mu_2 = \cdots = B\mu_k = 0.")
. Die SS&CPs lauten:
/math-8740d5daf3633ac0aa8055fd00c487c7.png "S_H = BHB^{T},S_E = BEB^{T}.")
Mauchly-Test der Sphärizität
Die Designmatrix sei
/math-511b707f131edaf39ee2a6a958a35e85.png "X = \begin{bmatrix}
1_{n_1\times 1} & 1_{n_1\times 1} & & & \\
1_{n_2\times 1} & & 1_{n_2\times 1} & & \\
\vdots & & & \ddots & \\
1_{n_k\times 1} & & & & 1_{n_k\times 1}
\end{bmatrix}.")
Die Residuenmatrix wird ermittelt durch /math-1e08c5818b30602c926a294072259b93.png "R = Y - X\left( (X^TX)^{-1}XY \right).")
/math-69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png "M")
sei die /math-e3ceee9ec583c7faf39dd069ddeb4f3f.png "(p-1)\times p")
orthogonale Matrix, die folgendermaßen festgelegt werden kann
/math-10621239e770e8df473420e90d18816d.png "M = \begin{bmatrix}
p-1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
0 & p-2 & \cdots & -1 & -1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -1
\end{bmatrix}.")
Es wird angenommen, dass /math-d25d17d844562411064a9f23b26a6175.png "T = M(R^TR)M^T.")
/math-c36f976ce9ed7b7cff6af4cb5ff5c753.png "d=p-1, \tau=\frac{2d^2+d+2}{6d}-N-r_X, \varsigma = \frac{(d+2)(d-1)(d-2)(2d^3+6d^2+3d+2)}{288d^2\tau^2}.")
sei hier /math-9861855a82345bcd4eaa0d3e47cf6ea0.png "r_X = rank(X).")
Dann ist die W-Statistik nach Mauchly
/math-dfa34554beee8930d717da684a7aa28c.png "W = \frac{det(T)}{(tr(T)/d)^d}.")
Der Wert des Chi-Quadrat-Tests ist /math-6d1c809f7dfe136ca756ba72be767636.png "\chi^2 = \ln(W)\tau")
mit Freiheitsgrad. /math-a767a173a88aa034d131ec4b1c4678b2.png "df = d(d+1)/2-1.")
- Greenhouse-Geisser
/math-6cb8aa6f3d4995e2a9949f4118384329.png "\varepsilon_{gg} = \frac{tr(T)^2}{tr(T^TT)d}.")
- Huynh-Feldt
/math-2308f07b4e36581d5399e8e055c3adc7.png "\varepsilon_{hf} = \min\left( \frac{nd\varepsilon_{gg}-2}{d(N-r_X)-d^2\varepsilon_{gg}} , 1\right).")
- Untere Grenze
/math-e04e1cc8d5e7de346b48a15ada4e180e.png "\varepsilon_{lb} = \frac{1}{d}.")
- Größte charakteristische Wurzel nach Roy
Tests der Effekte Innerhalb und Zwischen
Einige grundlegende Berechnungen:
- Summenquadrat gesamt:
/math-d77c0dc584970f5ddf3f8c76ddddfb58.png "SS_T = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{...}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-d8e1c07214fd6285d4206fb683352c15.png "df = Np-1.")
- Summenquadrat von Zwischen für Faktor A:
/math-5ce6c446b06d95d1235b2bab6c3d0ee1.png "SS_A = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{ik.}}-\bar{y_{...}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-b54b9bba2b59c6585a5b50cc1ace25ae.png "df = N-1.")
- Summenquadrat von Innerhalb für Faktor B:
/math-3d7f70012333abcbb9b3f0a197c08b7d.png "SS_B = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{ik.}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-3066706bcb6ae6279cbd20354905ccb5.png "df = Np-N.")
wobei
/math-e38f8fe6d7ffb147886aed2f6b95877d.png "\bar{y_{i..}} = \frac{1}{n_ip}\sum_{k,j}y_{ikj}, \bar{y_{...}} = \frac{1}{Np}\sum_{i,k,j}y_{ikj}, \bar{y_{..j}} = \frac{1}{N}\sum_{i,k}y_{ikj}, \bar{y_{i.j}} = \frac{1}{n_i}\sum_{k}y_{ikj}, \bar{y_{ik.}} = \frac{1}{p}\sum_{j}y_{ikj}, N = \sum_{i=1^{k}}n_i .")
Tests der Effekte innerhalb von Subjekten
- Summenquadrat von Faktor B für Test von Innerhalb
/math-a0399b25e8a990662496b013d6e78c4e.png "SSW_B = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{..j}}-\bar{y_{...}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-c0e52469ec501fd48c935d53a33e1831.png "df = p-1.")
- Summenquadrat von Wechselwirkung A*B für Test von Innerhalb
/math-1076b0939d92ec5d378d55d9831cf350.png "SSW_{AB} = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{i.j}}-\bar{y_{i..}} - \bar{y_{..j}} + \bar{y_{...}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-4dbf7d16253ce4aedf3d5a1ceb25d1b3.png "df = (k-1)(p-1).")
- Summenquadrat von Fehler (Faktor B) für Test von Innerhalb
/math-11007c96d117ab07ad0e07c096256209.png "SSW_{E} = \sum_{i,k,j}(y_{ikj}-\bar{y_{i.j}} - \bar{y_{ik.}} + \bar{y_{i..}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-af69b65318cb407302efc4b495c4d44c.png "df = (N-k)(p-1).")
Tests der Effekte zwischen Subjekten
- Summenquadrat von Schnittpunkt mit der Y-Achse für Test von Zwischen
/math-6443281de8e5073438892356febe1f0a.png "SSB_{int1} = \frac{p}{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}}\left( \sum_{i}\sum_{k}\frac{\bar{y_{ik.}}}{n_i} \right)^2 ,")
mit Freiheitsgrad /math-607e0e920ccf75242a73abeb509266d0.png "df = k-1.")
- Summenquadrat von Schnittpunkt mit der Y-Achse für Test von Zwischen (wenn der Schnittpunkt auf 0 festgelegt ist)
/math-ad771ad1001b53a2e0ba9067e8b72e41.png "SSB_{int0} = (X_{A}^{T}X_{A})^{-1}X_{A}^{T}Y ,")
mit Freiheitsgrad Hier ist /math-8933fce11a2d04e1400e749b44dce205.png "X_A")
die Designmatrix, die mit Effekt A verbunden ist, während /math-57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png "Y")
eine /math-e4d2a34ee9561bb27bcfa53efe63c16b.png "Np \times 1")
Matrix ist, die die Indexdaten darstellt.
- Summenquadrat von Zwischen für Faktor B für Test von Zwischen
/math-2a9c76b5d2ca68bfaefe2782cc3d588b.png "SSB_B = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{i..}}-\bar{y_{...}})^2,")
mit Freiheitsgrad
- Summenquadrat von Fehler(Faktor A) für Test von Zwischen
/math-ba0afaef0639b15f981b9c5920d0a2e7.png "SSB_E = \sum_{i,k,j}(\bar{y_{ik.}}-\bar{y_{i..}})^2,")
mit Freiheitsgrad /math-ce7d8d33214b606d9702fb021bb9470a.png "df = N-k.")
Mehrfache Mittelwertvergleiche
Es gibt verschiedene Methoden des Mittelwertvergleichs in Origin. Wir verwenden die NAG-Funktion ocstat_dlsm_mean_comparison(), um Mittelwertvergleiche durchzuführen.
Zwei Typen des mehrfachen Mittelwertvergleichs:
Einzelschrittmethode Sie erstellt simultane Konfidenzintervalle, um zu zeigen, wie sich die Mittelwerte unterscheiden. Dazu gehören Tukey-Kramer, Bonferroni, Dunn-Sidak, Fisher’s LSD und Scheffé.
Schrittweise Methode Führt nacheinander die Hypothesentests aus. Dazu gehören der Holm-Bonferroni- und der Holm-Sidak-Test.