確率プロットとQ-Qプロット

データセットが与えられた分布に従うかどうか検定するために確率プロットを使用します。これは、X軸上に観測した累積パーセント、Y軸上に期待累積パーセントを持つグラフを表示します。すべてのデータポイントが参照線に近い場合、データセットは与えられた分布に従うものと結論付けできます。

Q-Q(Quantile-Quantile) プロットは、データセットが与えられた分布に従うかどうかを検定するもう一つの手法です。確率プロットとは異なり、XとY軸上でパーセントの代わりに観測値と期待値を示します。すべてのデータポイントが参照線に近い場合、データセットは与えられた分布に従うものと結論付けできます。

Originでは、4つの分布（正規, 正規対数, 指数, ワイブル, ガンマ）と5つのパーセンタイル近似のプロット手法（Blom, Benard, Hazen, Van der Waerden, Kaplan-Meier）をサポートしています。

確率プロット/Q-Qプロットを作成するには

確率プロット、または、Q-Qプロットを作成するには、

1つのY列または複数のY列を入力変数として選択します。
確率/Q-Qプロットダイアログを開きます。
確率プロット：Originのメインメニューで、作図 > 統計：確率プロット（P-P図）を選択します。または、2Dグラフギャラリーツールバーの確率プロットボタンをクリックします。

Q-Qプロット：Originのメインメニューで、作図 > 統計：Q-Qプロットを選択します。または、2DグラフギャラリーツールバーのQ-Qプロットボタンをクリックします。
plot_prob Xファンクションダイアログで、グループ化列を選択、グループと変数の配置の設定、プロットを各パネルに分割する列、分布および手法を指定します。
OKをクリックして確率プロット、または、Q-Qプロットを作成します。

図の通り、このサンプルでは、

入力データで選択された2つの列は、複数データをグラフを分離に設定することにより、別々のグラフにプロットされます。
グループボックスで選択されたグループ化列"country" により、確率プロットを複数のプロットに分割し、同じグラフに重ねて表示します。
パネルの分割で選択された別のグループ列 "Luxury" により、グラフが2つのレイヤ(NとY)に分割されます。
統計結果を含む表がグラフに追加されます。

plot_probXファンクションのダイアログ

入力データ	入力データを指定します。入力変数として複数の列を選択できます。
グループ	入力変数を複数のプロットに分割するためのグループ化列を指定します。
グラフ配置	このコントロールは、複数の入力変数とグループを配置し、グラフを複数のパネルとページに分割するために使用されます。複数データと複数グループ：このオプションを使用すると、プロットは次の方法で配置されます。すべて重ね合わせる: 複数データと複数グループの両方で、同じグラフ上でオーバーラップを選択します。重ね合わせグループ、別レイヤの変数：複数データ=別のレイヤ、複数グループ=同じグラフ上でオーバーラップします重ね合わせ変数、別レイヤグループ：複数グループ=個別レイヤ、複数データ=同じグラフ上でのオーバーラップ別レイヤ：複数データと複数グループの両方が個別のレイヤを選択ページの分割：このチェックボックスをにチェックをつけると、別のグループ化列を選択して、グラフを複数レイヤに分割できます。 Note: 複数データと複数グループの両方が別レイヤに設定されている場合、結果シートのレイヤの順序は、「入力データによる」→「パネルの分割」→「グループによる」の階層に従います。ページの分割：このチェックボックスをオンにすると、別のグループ化列を指定して、入力データを分割し、異なるグラフページに確率プロットを作成できます。各ページには、同じページ関連グループに属する列だけがプロットされます。ページに関連するグループ情報は、レイヤータイトルにカンマ区切りで表示されます（複数因子がある場合）。レポート用のグラフシートには、すべてのページが一覧表示されます。
Xスケール共有	同じグラフ上のすべてのレイヤでXスケールを共有するかどうかを指定します。このオプションは、複数のデータで同じグラフ上でレイヤを分離が選択されている場合および、ページの分割で複数グループまたはグループ化列が選択されている場合にのみ使用できます。
Yスケール共有	同じグラフ上のすべてのレイヤでYスケールを共有するかどうかを指定します。このオプションは、複数のデータで同じグラフ上でレイヤを分離が選択されている場合および、ページの分割で複数グループまたはグループ化列が選択されている Q-Q プロットで使用できます。
分布	データの分布の種類を指定します。分布についてのより詳細な情報は、分布セクションを参照してください。分布 14の分布から選択します。データより推定入力データから分布パラメータを推定するかどうかを指定します。チェックを付けない場合、パラメータを手動で指定することができます。パラメータ:データより推定ボックスのチェックを外すと、パラメータボックスがアクティブになり、カスタム値を入力して曲線を描くことができます。分布曲線の詳細については、作図の詳細ダイアログの分布タブで確認できます。
スコア法	パーセンタイル近似のプロット方法を選択します。手法についてのより詳細な情報は、スコア法セクションを参照してください。 Blom Benard Hazen Van der Waerden Kaplan-Meier
信頼帯	確率プロとに信頼帯を出力するか指定します。計算の詳細はアルゴリズムを参照してください。
信頼水準(%)	信頼帯が選択されている場合にのみ使用できます。選択した分布の信頼水準を%で指定します。
XY軸の交換	X軸とY軸の位置を交換するか指定します。
X最小 X最大	デフォルトでは、自動チェックボックスがオンになっています。この場合、結果シート PlotData# の Reference Line 列における X 値の最小値と最大値が、分布曲線の作成に使用されます。自動チェックボックスをオフにすると、すべての分布参照線に使用する X 値の最小値および/または最大値を入力できます。すべての参照線は、この X 範囲内にプロットされます。
出力先	グラフを出力する場所として、別のグラフウィンドウまたはレポートシート内に埋め込む場所を指定します。
出力範囲	これにより、グラフ用に計算されたデータの保存場所を決定します。
グラフ出力	これにより、結果グラフがどこに保存されるかが決定されます。

分布

Originには4つの確率分布とQ-Qプロットが含まれます。次の表に、密度関数を示します。

分布	密度関数 p(x)	範囲	パラメータ
正規	\[\frac 1{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{\left( x-\mu \right) ^2}{2\sigma ^2}\right)\]	全ての \(x\)	\(\mu\)平均は、位置パラメータで、\(\sigma(>0)\)標準偏差は、スケールパラメータです。
対数正規	\[\frac 1{\sigma x\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{\left( \ln \left( x\right) -\mu \right) ^2}{2\sigma ^2}\right)\]	\[x>0\]	\(\mu\)は形状パラメータ、 \(\sigma(>0)\)はスケールパラメータです。
3パラメータ対数正規	\[\frac{1}{(x - \gamma)\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{[\ln(x - \gamma) - \mu]^2}{2\sigma^2}\right)\]	\[x > \gamma\]	\(\gamma\) は分布の最小値 \(\mu\) は (X−γ)の対数の平均 \(\sigma >0\) はln(X−γ)の標準偏差
指数分布	\[\frac 1\sigma \exp \left( -\frac x\sigma \right)\]	\[x>0\]	\(\sigma(>0)\)はscaleパラメータです。
2パラメータ指数	\[\lambda e^{-\lambda(x - \mu)}\]	\[x>\mu\]	λ> 0はレートパラメータ（スケールの逆数） μ は位置パラメータ（最小値、しきい値）
ワイブル	\[\frac c\sigma \left( \frac x\sigma \right) ^{c-1}\exp \left( -\left( \frac x\sigma \right) ^c\right)\]	\[x>0\]	\(\sigma(>0)\)はスケールパラメータ、 \(c(>0)\) は形状パラメータです。
3パラメータワイブル	\[\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x - \gamma}{\lambda}\right)^{k-1} \exp\left[-\left(\frac{x - \gamma}{\lambda}\right)^k\right]\]	\[\quad x \geq \gamma\]	k>0 形状パラメータ（ワイブル係数） λ>0 スケールパラメータ（特性寿命） γ は位置パラメータ（最小寿命／しきい値）
ガンマ	\[\frac{1}{\Gamma(c)\sigma^c}x^{c -1} exp(-x/\sigma),\]	\[x>0\]	\(\sigma(>0)\)はスケールパラメータ、 \(c(>0)\) は形状パラメータです。
最小極値分布	\[\frac{1}{\sigma} \exp\left[\frac{x-\mu}{\sigma} - \exp\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\]	\[\quad -\infty < x < \infty\]	μ = 位置パラメータ（最頻値、中央値でもある） σ>0 = スケールパラメータ
最大極値分布	\[\frac{1}{\sigma} \exp\left[-\frac{x-\mu}{\sigma} - \exp\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\]	\[-\infty < x < \infty\]	μ =位置パラメータ（最頻値） σ>0 = スケールパラメータ
ロジスティック	\[\frac{\exp\left(-\frac{x-\mu}{s}\right)}{s\left[1 + \exp\left(-\frac{x-\mu}{s}\right)\right]^2} = \frac{1}{4s} \text{sech}^2\left(\frac{x-\mu}{2s}\right)\]	\[ -\infty < x < \infty\]	μ = 位置パラメータ（平均、中央値、最頻値） s>0 = スケールパラメータ（標準偏差に関連）
対数ロジスティック	\[\frac{(\beta/\alpha)(t/\alpha)^{\beta-1}}{\left[1 + (t/\alpha)^\beta\right]^2}\]	\[t > 0\]	α>0 = スケールパラメータ（中央値 = α） β>0 = 形状パラメータ（歪度および裾の挙動を制御）
折りたたみ正規分布	\[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \left[\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) + \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\right]\]	\[x \geq 0\]	μ は基礎となる正規分布の位置パラメータ σ>0 (スケール)
レイリー	\[\frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\]	\[x \geq 0\]	σ>0 はスケールパラメータです。

確率プロット作成の詳細

確率プロットを作成するために、観測されたデータセットを最小から最大にソートします。

\(x[1]\le x[2]\le x[3]\le \cdots \le x[n-1]\le x[n]\), \(n\)は観測されたデータセットの総数です。

ソートされた観測値は、X座標は\(x[i]\ \)で、Y座標はスコア法用いて計算された点によってプロット上で示されます。

確率プロットのスケールタイプは、分布により異なります。

分布	Xスケールタイプ	Yスケールタイプ
正規分布	線形	確率
対数正規	Ln	確率
3パラメータ対数正規	Log10	確率
指数分布	Ln	二重対数逆数
2パラメータ指数	Log10	二重対数逆数(ワイブル)
ワイブル	Log10	二重対数逆数
3パラメータワイブル	Log10	二重対数逆数(ワイブル)
ガンマ	Log10	確率
最小極値分布	線形	二重対数逆数(ワイブル)
最大極値分布	線形	カスタム数式
ロジスティック	線形	ロジット
対数ロジスティック	Log10	ロジット
折りたたみ正規分布	線形	カスタム数式
レイリー	Log10	カスタム数式

Q-Qプロット作成の詳細

Q-Qプロットを作成するために、観測されたデータセットを最小から最大にソートします。

\(x[1]\le x[2]\le x[3]\le \cdots \le x[n-1]\le x[n]\)（\(n\)は観測値の総数）

Y値は、使用されるスコア法の逆累積分布関数です。

スコア法

入力データが最小から最大の順に並べられ、ソートされたデータのシリアル番号が以下のいずれかの方法で採点されます。この表では、\(i\)はシリアル番号で、\(n\)は欠損なしの入力データの総数です。

メソッド	プロット位置 \(method(i,n)\)
Blom	\[(i-0.375)/(n+0.25)\]
Benard	\[(i-0.3)/(n+0.4)\]
Hazen	\[(i-0.5)/n\]
Van der Waerden	\[i/(n+1)\]
Kaplan-Meier	\[i/n\]

参考文献

Samuel Kotz , Campbell B. Read , N. Balakrishnan, Brani Vidakovic, 2005.Encyclopedia of statistical sciences., NewYork: John Wiley & Sons, Inc.
Thode, Henry C. 2002, Testing for Normality, CRC Press