アルゴリズム (phm cox)
i = 1, 2, ..., nで、/math-b4a096d9d2236359a73b7386af0c9ab6.png "t_i\,\!")
をi番目の観測値は、p 共変量/math-e9b2a0e549182ce07a674b99d3bdd987.png "Z_j(j=1,2,\ldots ,p)")
のベクターデータを持ち、これに対する故障時間または打ち切り時間にします。故障と打ち切りの過程は独立しているものとします。ハザード関数/math-b4edeac500164ed31e65913d1bf90051.png "\lambda (z,t)\,\!")
は、共変量 z を持つ個々のデータが時間tで故障する確率で、時間tは、個々が生存する時間として与えられます。Con比例ハザードモデルは、次のような形式になっています。
/math-7fd25fca62158bf07a508af6b3048824.png "\lambda (z,t)=\lambda _0(t)\exp (z^{T}\beta +\omega )\,\!")
ここで/math-3edc1ca1e622708969948a2514e800f2.png "\lambda _0\,\!")
は、ハザード関数のベースラインで時間関数ではなく、 /math-5b320b6d3d3254d936c752ae308dbfd8.png "\beta \,\!")
は、不明なパラメータのベクターデータで、/math-f2f1b18a419c6fddc9ad79a13a5946e3.png "\omega\,\!")
は分かっているオフセット値です。
時間/math-659eb06b406d2e114b139d0dd37ba959.png "t_{(i)}\,\!")
における個別の故障/math-40b4081d7e04c18f0529a2e70a11e290.png "d_i\,\!")
のように、/math-99af4576b28fa0e44da190e42ca9fdfb.png "n_d < n\,\!")
で与えられる故障時間は、 明確な故障時間 /math-afdb5212c7209b37b90b950f8e435844.png "t_{(1)} < t_{(2)} < ?< t_{(nd)}")
と結びついており、 /math-b0603860fcffe94e5b8eec59ed813421.png "\beta")
に対する周辺尤度は、次式で近似されます。
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(1) |
![L=\prod_{i=1}^{n_d}\frac{\exp (s_i^{T}\beta +\omega _i)}{[\sum_{l\in R(t_{(1)})}\exp (z_i^{T}\beta +\omega _i)]^{d_{i}}}](/origin-help/ja/images/Algorithm_(phm_cox)/math-746fdd59f1f86341fb6c80f477eef31d.png "L=\prod_{i=1}^{n_d}\frac{\exp (s_i^{T}\beta +\omega _i)}{[\sum_{l\in R(t_{(1)})}\exp (z_i^{T}\beta +\omega _i)]^{d_{i}}}")
ここで、/math-df637c345145e684f09c3e2bf73732cf.png "s_i\,\!")
は、時間 における観測した個々の故障の共変量の合計であり、 は、/math-ee91b0d4f1eaf7196ca8b86c689bce4c.png "R(t_{(i)})\,\!")
より前のリスクにおける個々の故障です。これは、時間以上に生存した個々のデータに加えて、時間/math-f82bfe760d9b9727abfa6b9f205b4291.png "t_{(i)}")
での故障または打ち切りのデータすべてとなります。 /math-8d2bf18dffee8005942fdde98a69f3a1.png "\beta\,\!")
のMLE(最大尤度見積り)は、/math-950a1c15a15d3e439fc0c39729c41abe.png "\hat \beta\,\!")
で与えられ、Newton-Raphson反復法を使って(1)を最大化することで取得されます。この反復法は、段階的に行われ、下記の(2)と(3)で与えられる(1)の一階および二階微分を利用します。
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(2) |
![U_j(\beta )=\frac{\partial Ln(L)}{\partial \beta _j}=\sum_{i=1}^{n_d}[s_{ji}-d_i\alpha _{ji}(\beta )]=0](/origin-help/ja/images/Algorithm_(phm_cox)/math-2f4266ed0d3815eaca058ea19e181c0e.png "U_j(\beta )=\frac{\partial Ln(L)}{\partial \beta _j}=\sum_{i=1}^{n_d}[s_{ji}-d_i\alpha _{ji}(\beta )]=0")
j = 1, 2,..., p, ここで/math-c187e0049b758f53e5e0d9889f652f49.png "s_{ji}\,\!")
は、ベクターデータの j番目の要素です。
/math-a28a80d6e7722fccef4fc3249adc4ca2.png "\alpha _{ji}(\beta )=\frac{\sum_{l\in R(t_{(1)})}z_{jl}\exp (z_l^{T}\beta +\omega _l)}{\sum_{l\in R(t_{(1)})}\exp (z_l^{T}\beta +\omega _l)}")
同様に、
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(3) |
/math-f7f5ed8c6b97518204b6c96b8797c7d9.png "I_{hj}(\beta )=-\frac{\partial ^2Ln(L)}{\partial \beta _h\partial \beta _j}=\sum_{i=1}^{n_d}d_i\gamma _{hji}")
ここで /math-b9afb94ffa7c4b399e7da601d15f214c.png "\gamma _{hji}=\frac{\sum_{l\in R(t_{(1)})}z_{hl}z_{jl}\exp (z_l^{T}\beta +\omega _l)}{\sum_{l\in R(t_{(1)})}\exp (z_l^{T}\beta +\omega _l)}-\alpha _{hi}(\beta )\alpha _{ji}(\beta )")
h, j = 1, ..., p.p.
/math-94b61be7dbb72780127ba83b9a55c19f.png "U_j(\beta )\,\!")
は、スコアベクターの j 番目の成分で、/math-1a14fac8fed1c86899f6f323acabceea.png "I_{hi}(\beta )\,\!")
は、観測情報行列 /math-a139862e5a9fa67a8d14878476236d55.png "I(\beta )\,\!")
の(h, j)要素です。この行列の逆行列/math-3d35c360006c6b692bb24cfaa0162d4b.png "I(\beta )^{-1}=I_{hi}(\beta )^{-1}\,\!")
は、 の分散－共分散行列を与えます。
共変量または共変量の線形の組合せは、時間と共に単調に増加または減少しており、1つ以上の/math-35ddbb0efc4d0c98d6f19a3b84c1db78.png "\beta _j^{\prime }s")
は無限大となります。
もし /math-8883b73ab26908c75308092259b6d141.png "\lambda _0(t)\,\!")
は/math-3b0619e986d2ebf9acd80c494cb421a4.png "\nu\,\!")
の層でさまざまに変化すると、k番目の層にあるデータの数は/math-3da18b12eaeaccf089fe39883448b765.png "n_k\,\!")
、 k = 1, ... , )で、/math-ff8c77ee62f8208a4dbab23d6a511dcc.png "n=\sum_{k=1}^\nu n_k")
を持ち、を取得するために(1)を最大化するのではなく、次の周辺尤度を最大化します。
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(4) |
/math-3423d4e0ec03428876c386cf59a58dfe.png "L=\prod_{k=1}^\nu L_k")
ここで/math-39209f726b762faf7442e04a446ad41f.png "L_k\,\!")
は、(1)で簡単なサンプルとして扱われるk番目の層にある観測値に対する尤度への寄与となります。 共変量係数が層にまたがって一定であると結論付けするとき、異なるベースラインハザード関数があります。
故障時間と関連しているベースライン生存関数は次のように見積もられます。
/math-0b8df9b2daec8e7514a7c2cd894f8faf.png "exp(-\hat H(t_{(i)}))")
,
ここで /math-ca2e935da3c4ec9f78523b3db2309234.png "\hat H(t_{(i)})=\sum_{t(j)\leq t(i)}(\frac{d_i}{\sum_{l\in R(t_{(j)})}\exp (z_l^T\hat \beta +\omega _l)})")
そして、 は、時間における故障の数です。 I番目の観測値の残差は次式で計算されます。
/math-a5cc248e45947fea428f4b34caff7093.png "r(t_l)=\hat H(t_l)\exp (-z_l^T\hat \beta +\omega _l)")
ここで/math-b77e639a3484da642fbbd419c433f190.png "\hat H(t_l)=\hat H(t_{(i)}),t_{(i)}\leq t_l<t_{(i+1)}")
逸脱は、/math-22a372fe7aefbb5295da3f13a354ea31.png "-2^*\,\!")
(logarithm of marginal likelihood)と定義されます。個々の共変量が十分であるかをテストする2つの方法があります。: ネストしたモデルの共変量間の差は、適切な/math-c15009ca5cbb034d023f145a4ed23b8d.png "\chi ^2\,\!")
の分布で比較されます。または、パラメータ推定の正規性がz検定を形作るために使われます。推定値を標準誤差で除算するか、帰無仮説下のモデルに対するスコア関数がz検定を形作るために使われます。