アルゴリズム(偏相関係数)

偏相関係数は、調整変数が存在するときの2つの変数間の関係を説明するために使用されます。

偏相関係数

\(n_y\) ランダム変数Yのセットと \(n_x\) 調整変数Xで、2つの変数XとYを統合すると、その分散共分散行列は以下のようになります。

\[ \begin{pmatrix} \Sigma_{xx} & \Sigma_{xy} \\ \Sigma_{yx} & \Sigma_{yy} \end{pmatrix} \]

調整変数XのY変数の分散共分散行列は、以下で与えられます。

\[ \Sigma_{y|x} = \Sigma_{yy}-\Sigma_{yx}\Sigma_{xx}^{-1}\Sigma_{xy} \]

偏相関係数は以下のように計算されます。

\[ \text{diag}(\Sigma_{y|x})^{-1/2} \Sigma_{y|x} \text{diag}(\Sigma_{y|x})^{-1/2}. \]

偏相関係数がゼロという帰無仮説の検定に、t検定を使用できます。

自由度は、

\[df=n-n_x-2\]

ここでnは、完全相関の計算における観測値の数です。欠損値のペアワイズ削除において、与えられた調整変数Xの2つの変数 \(Y_i, Y_j\) の偏相関の計算でnはXの対の中と \((Y_i, Y_j), (Y_i, X), (Y_j, X)\) の対の中の観測値の最小の数です。

t統計量は、

\[ t = |r| \sqrt{ \frac {df} {1-r^2} } \]

ここで r は偏相関係数です。

両端の有意水準レベル\(\text{Prob}>|t|\)は以下のように計算されます。

\[ 2(1 - \text{tcdf}(t, df)). \]

Morrison, D. F. (1976), Multivariate Statistical Methods, Second Edition, New York:McGraw-Hill.
nag_partial_corr (g02byc)