アルゴリズム（1群の比率の検定）

仮説

\(n\!\)をサンプルサイズとし、\(n_{1}\!\)をイベントまたは成功の数とします。標本比率\(\tilde{p}\!\)は\(\tilde{p}=\frac{n_{1}}{n}\)で説明されます。

\(p\!\)をサンプル比率とし、\(p_{0}\!\)は仮説比率としてこの関数は仮説を検定します。

\(H_0:p=p_{0}\!\) vs \(H_1:p \ne p_{0}\!\), 両側検定

\(H_0: p\ge p_{0}\!\) vs \(H_1:p < p_{0}\!\), 上側検定

\(H_0:p\le p_{0}\!\) vs \(H_1:p > p_{0}\!\), 下側検定

正規近似

P値

\(n_{1}\ge10\!\) および \(n-n_{1}\ge10\!\) のとき、二項分布の正規近似を使用してp 値を計算できます。検定を行うために、次のようにして \(z\!\) と \( p_{value}\!\) の値を計算します。

\[z=\frac{\tilde{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\!\]

\(p_{value}=2p(Z>|z||p=p_{0})\!\) 両側検定

\(p_{value}=p(Z\le z|p=p_{0})\!\) 上側検定

\(p_{value}=p(Z\ge z|p=p_{0})\!\) 下側検定

信頼区間

信頼度が \(1-\alpha\) と等しい場合、サンプルの比率における信頼区間は以下のようにして与えられます。

帰無仮説	信頼区間
\[H_0:p=p_{0}\!\]	\[\left[\tilde{p}- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, \tilde{p}+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]\]
\[H_0: p\ge p_{0}\!\]	\[\left[\tilde{p}- Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, 1\right]\]
\[H_0:p\le p_{0}\!\]	\[\left[0, \tilde{p}+ Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]\]

二項検定

正確なP値

Originでは、比率の正確検定は、二項検定をベースにします。

\(H_0: p\ge p_{0}\!\) \(P_{value}=p(X\le n_{1}|p_0)\)

\(H_0:p\le p_{0}\!\) \(P_{value}=p(X\ge n_{1}|p_0)\)

\(H_0:p=p_{0}\!\):

\(M=n*p_0\!\)のようにします。

\(n_1=M\!\) のとき \(P_{value}=1\!\)

\(n_1\le M\!\) \(P_{value}=P(X\le n_1)+P(X\ge n-y+1)\)の時、yは\(P(z)\le p(n_1)\) および \(n\ge z\ge \left \lfloor M \right \rfloor+1\)のようにzのためのカウントです。

\(n_1\ge M\!\) \(P_{value}=P(X\le y-1)+P(X\ge n_1)\)の時、yは\(P(z)\le p(n_1)\) および \(0\le z\le \left \lfloor M \right \rfloor\)のようにZのためのカウントです。

正確な信頼区間

正確な信頼区間：信頼係数は \(1-\alpha\)

帰無仮説	信頼区間
\[H_0:p=p_{0}\!\]	\[\left[QBETA_{(1 - \alpha/2, n_1 + 1, n - n_1)}, QBETA_{(\alpha/2, n_1, n - n_1 + 1)}\right]\]
\[H_0: p\ge p_{0}\!\]	\[\left[QBETA_{(1 - \alpha, n_1 + 1, n - n_1)}, 1\right]\]
\[H_0:p\le p_{0}\!\]	\[\left[0, QBETA_{(\alpha, n_1, n - n_1 + 1)}\right]\]

ここで、\(QBETA\) は、ベータ分布の分位点関数を表します。