Algorithmen (Test von Anteilen bei einer Stichprobe)

Inhalt 1 Hypothesen 2 Normal-Approximation 2.1 p-Wert 2.2 Konfidenzintervall 3 Binomialtest 3.1 Exakter p-Wert 3.2 Exaktes Konfidenzintervall

Hypothesen

\(n\!\) sei der Stichprobenumfang und \(n_{1}\!\) die Anzahl der Ereignisse bzw. Erfolge. Der Stichprobenanteil \(\tilde{p}\!\) kann dann ausgedrückt werden mit:\(\tilde{p}=\frac{n_{1}}{n}\)

\(p\!\) sei der Stichprobenanteil und \(p_{0}\!\) der hypothetische Anteil. Diese Funktion testet die Hypothesen:

\(H_0:p=p_{0}\!\) vs. \(H_1:p \ne p_{0}\!\) für einen beidseitigen Test.

\(H_0: p\ge p_{0}\!\) vs. \(H_1:p < p_{0}\!\) für einen unteren Test.

\(H_0:p\le p_{0}\!\) vs. \(H_1:p > p_{0}\!\) für einen oberen Test.

Normal-Approximation

p-Wert

Wenn \(n_{1}\ge10\!\) und \(n-n_{1}\ge10\!\), können Sie einen p-Wert mit Hilfe der Normal-Approximation einer Binomialverteilung berechnen. Um den Test durchzuführen, berechnen Sie den Wert für \(z\!\) und \( p_{value}\!\):

\[z=\frac{\tilde{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\!\]

\(p_{value}=2p(Z>|z||p=p_{0})\!\)für beidseitigen Test

\(p_{value}=p(Z\le z|p=p_{0})\!\), für oberen Test

\(p_{value}=p(Z\ge z|p=p_{0})\!\), für unteren Test

Konfidenzintervall

Für ein Konfidenzniveau gleich \(1-\alpha\) kann das Konfidenzintervall für den Stichprobenanteil erzeugt werden durch:

Nullhypothese	Konfidenzintervall
\[H_0:p=p_{0}\!\]	\[\left[\tilde{p}- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, \tilde{p}+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]\]
\[H_0: p\ge p_{0}\!\]	\[\left[\tilde{p}- Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, 1\right]\]
\[H_0:p\le p_{0}\!\]	\[\left[0, \tilde{p}+ Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]\]

Binomialtest

Exakter p-Wert

In Origin basiert der exakte Test von einem Anteil auf dem Binomialtest.

\(H_0: p\ge p_{0}\!\) \(P_{value}=p(X\le n_{1}|p_0)\)

\(H_0:p\le p_{0}\!\) \(P_{value}=p(X\ge n_{1}|p_0)\)

\(H_0:p=p_{0}\!\):

Sei \(M=n*p_0\!\),

wenn \(n_1=M\!\) \(P_{value}=1\!\)

wenn \(n_1\le M\!\) \(P_{value}=P(X\le n_1)+P(X\ge n-y+1)\), wobei y die Anzahl für z ist, so dass \(P(z)\le p(n_1)\) und \(n\ge z\ge \left \lfloor M \right \rfloor+1\)

wenn \(n_1\ge M\!\) \(P_{value}=P(X\le y-1)+P(X\ge n_1)\), wobei y die Anzahl für z ist, so dass \(P(z)\le p(n_1)\) und \(0\le z\le \left \lfloor M \right \rfloor\)

Exaktes Konfidenzintervall

Exaktes Konfidenzintervall: Konfidenzniveau ist \(1-\alpha\)

Nullhypothese	Konfidenzintervall
\[H_0:p=p_{0}\!\]	\[\left[QBETA_{(1 - \alpha/2, n_1 + 1, n - n_1)}, QBETA_{(\alpha/2, n_1, n - n_1 + 1)}\right]\]
\[H_0: p\ge p_{0}\!\]	\[\left[QBETA_{(1 - \alpha, n_1 + 1, n - n_1)}, 1\right]\]
\[H_0:p\le p_{0}\!\]	\[\left[0, QBETA_{(\alpha, n_1, n - n_1 + 1)}\right]\]

wobei \(QBETA\) die Quantilfunktion der Beta-Verteilung bezeichnet.