Algorithmen (Test von Anteilen bei einer Stichprobe)

Inhalt

Hypothesen

n\! sei der Stichprobenumfang und n_{1}\! die Anzahl der Ereignisse bzw. Erfolge. Der Stichprobenanteil \tilde{p}\! kann dann ausgedrückt werden mit:\tilde{p}=\frac{n_{1}}{n}

p\! sei der Stichprobenanteil und p_{0}\! der hypothetische Anteil. Diese Funktion testet die Hypothesen:

H_0:p=p_{0}\! vs. H_1:p \ne p_{0}\! für einen beidseitigen Test.

H_0: p\ge p_{0}\! vs. H_1:p < p_{0}\! für einen unteren Test.

H_0:p\le p_{0}\! vs. H_1:p > p_{0}\! für einen oberen Test.

Normal-Approximation

p-Wert

Wenn n_{1}\ge10\! und n-n_{1}\ge10\!, können Sie einen p-Wert mit Hilfe der Normal-Approximation einer Binomialverteilung berechnen. Um den Test durchzuführen, berechnen Sie den Wert für z\! und p_{value}\!:

z=\frac{\tilde{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\!

p_{value}=2p(Z>|z||p=p_{0})\!für beidseitigen Test

p_{value}=p(Z\le z|p=p_{0})\!, für oberen Test

p_{value}=p(Z\ge z|p=p_{0})\!, für unteren Test

Konfidenzintervall

Für ein Konfidenzniveau gleich 1-\alpha kann das Konfidenzintervall für den Stichprobenanteil erzeugt werden durch:

Nullhypothese Konfidenzintervall
H_0:p=p_{0}\! \left[\tilde{p}- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, \tilde{p}+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]
H_0: p\ge p_{0}\! \left[\tilde{p}- Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}, 1\right]
H_0:p\le p_{0}\! \left[0, \tilde{p}+ Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\tilde{p}(1-\tilde{p})}{n}}\right]

Binomialtest

Exakter p-Wert

In Origin basiert der exakte Test von einem Anteil auf dem Binomialtest.

H_0: p\ge p_{0}\! P_{value}=p(X\le n_{1}|p_0)

H_0:p\le p_{0}\! P_{value}=p(X\ge n_{1}|p_0)

H_0:p=p_{0}\!:

Sei M=n*p_0\!,

wenn n_1=M\! P_{value}=1\!

wenn n_1\le M\! P_{value}=P(X\le n_1)+P(X\ge n-y+1), wobei y die Anzahl für z ist, so dass P(z)\le p(n_1) und n\ge z\ge \left \lfloor M \right \rfloor+1

wenn n_1\ge M\! P_{value}=P(X\le y-1)+P(X\ge n_1), wobei y die Anzahl für z ist, so dass P(z)\le p(n_1) und 0\le z\le \left \lfloor M \right \rfloor

Exaktes Konfidenzintervall

Exaktes Konfidenzintervall: Konfidenzniveau ist 1-\alpha

Nullhypothese Konfidenzintervall
H_0:p=p_{0}\!

\left[QBETA_{(1 - \alpha/2, n_1 + 1, n - n_1)}, QBETA_{(\alpha/2, n_1, n - n_1 + 1)}\right]

H_0: p\ge p_{0}\!

\left[QBETA_{(1 - \alpha, n_1 + 1, n - n_1)}, 1\right]

H_0:p\le p_{0}\!

\left[0, QBETA_{(\alpha, n_1, n - n_1 + 1)}\right]

wobei QBETA die Quantilfunktion der Beta-Verteilung bezeichnet.