アルゴリズム (Mann-Whitney検定)
2つの独立した標本/math-5b1801852159ba06309a26beab0a5c80.png "F(x)\,")
と/math-9756a2e5b64bdcdf316280aa3e4ec826.png "G(y)\,")
について、サンプルサイズが /math-8d88a43872d6db6535d8672a15f09ce2.png "n_1\,\!")
および /math-ede03c8aef1b07c898c7747b489fd765.png "n_2\,\!")
であると考えます。サンプルデータはそれぞれ /math-d79752c45b6e0288c460390908ff4157.png "x_1,x_2,\ldots ,x_{n_1}\,\!")
および /math-ba3bf26bc53cf72dd2f7e804e8351ba7.png "y_1,y_2,\ldots ,y_{n_1}\,\!")
と表します。
帰無仮説 :/math-f60cc190b9efdc1a8dd50689509520e4.png "H_0: F(x) = G(y)\,")
と表し、2つの分布は同じです。これは対立仮説/math-7cd11b458088b7785f332b5101ecd466.png "H_1\,")
に対して検定が実行されます。内容としては、
/math-442de29a07a0a1d2b14c2d251be35c0b.png "H_1: F(x) \neq G(y)\,")
;または
/math-6b206a28e60f665e235f89f460448467.png "x\,")
の傾向が/math-ec9ff0a12771e750c2685d3b89a37c79.png "y\,")
よりも大きくなる場合、/math-96afea18e20fea6dbe701b05689c166d.png "H_1: F(x) < G(y)\,\!")
;または
- の傾向がよりも小さくなる場合、
/math-dd4112d1dfe28bb3868d87af588e6c1c.png "H_1: F(x) > G(y)\,\!")
検定手順は以下のステップのようになります。
/math-312ce869e8967ee6fff1453ef5e28c4c.png "x_i \,\!")
と /math-015fcddf5978e5b63ac9135bd7bdae23.png "y_i\,\!")
を1つのグループに組み合わせます。- それらを昇順で順位付けします。同順位のものは、それらの順位の平均を受け取ります。
/math-56a7a6ec92f118977b8523a962828446.png "r_{1i}\,\!")
を に割り当てられる順位(/math-b57947ce6a9bae17d7506e4f7c01f818.png "i=1,2,\ldots ,n_1")
において)と、 に割り当てられる順位( /math-1dae3723ecc58382e25c7a34892865a5.png "j=1,2,\ldots ,n_2")
において)とします。 - 順位の合計を計算します。
/math-e9f090c9bc2e4925efed578d5fc957d4.png "S_1=\sum_{I=1}^{n_1}r_{1i}\,\!")
, および /math-443e369d22f03a15147ddce7585c5b22.png "S_2=\sum_{I=1}^{n_2}r_{2j}\,\!")
です。
- 検定する統計量
/math-6f3d5ad4b0e22c80e2db450cf7238ea9.png "U\,")
は次のように表すことができます。
- おおよその一般検定統計量
/math-77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3.png "z\,")
は次のように計算されます。
/math-2318b3a335f87d5d4da6d984610d7fc9.png "TS=\sum_{j=1}^\tau \frac{(t_j)(t_j-1)(t_j+1)}{12}\,")
.
/math-877f2649839d34ed84de578db8e58a47.png "\tau \,")
は、標本内で同順位の数で、/math-df204135239c5bf5c4634a38c3b9b470.png "t_j\,")
は、j 番目のグループの同順位数です。
同順位が存在しない場合、/math-d48c86a2e46b00c5cd98ca6169fed589.png "U \,")
の分散は/math-5e07afd040fd2b8d17dca3a17cf6a170.png "\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\,")
のようになります。
/math-42f3622e67a4b7662e78f6c155b8ec10.png "U=S_1-\frac{n_1(n_1+1)}2\,")
/math-2590c4a4b785dfcc8e3983885df66db6.png "z=\frac{U-M(U)\pm \frac 12}{\sqrt{Var(U)}} \,")
/math-28ce0d26a8607fa489594ca9a1d7cc31.png "M(U)=\frac{n_1n_2}2 \,")
/math-ef94a3f17a70689ec4c0b3b8808715e6.png "Var(U)=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}-\frac{n_1n_2}{(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}\times TS \,")
このアルゴリズムの詳細は、nag_mann_whitney (g08amc)をご覧下さい。