Algorithmus (mwtest)

Betrachten Sie die zwei unabhängigen Beispiele $F(x)\,$ und $G(y)\,$ mit der Größe $n_1\,\!$ und $n_2\,\!$ . Die Beispieldaten werden als $x_1,x_2,\ldots ,x_{n_1}\,\!$ bzw. $y_1,y_2,\ldots ,y_{n_1}\,\!$ bezeichnet.

Die Nullhypothese $H_0: F(x) = G(y)\,$ lautet, dass die zwei Verteilungen gleich sind. Dies wird gegen die Alternativhypothese $H_1\,$ getestet, die besagt:

$H_1: F(x) \neq G(y)\,$ ; oder

$H_1: F(x) < G(y)\,\!$ , die $x\,$ tendieren dazu, größer zu sein als die $y\,$ ; oder

$H_1: F(x) > G(y)\,\!$ , die $x\,$ tendieren dazu, kleiner zu sein als die $y\,$ .

Das Testverfahren beinhaltet die folgenden Schritte:

Kombinieren Sie $x_i \,\!$ und $y_i\,\!$ in einer Gruppe.
Ordnen Sie die Ränge in aufsteigender Ordnung. Verbindungen erhalten den Durchschnitt ihrer Ränge. Angenommen $r_{1i}\,\!$ sind die Ränge, die $x_i \,\!$ zugewiesen sind, für $i=1,2,\ldots ,n_1$ , und die Ränge, die $y_i\,\!$ zugewiesen sind, für $j=1,2,\ldots ,n_2$ .
Berechnen Sie die Summe der Ränge:

$S_1=\sum_{I=1}^{n_1}r_{1i}\,\!$ , und $S_2=\sum_{I=1}^{n_2}r_{2j}\,\!$
Die Teststatistik $U\,$ wird folgendermaßen definiert:

$U=S_1-\frac{n_1(n_1+1)}2\,$
Die approximative Teststatistik der Normalverteilung $z\,$ wird berechnet wie folgt:

$z=\frac{U-M(U)\pm \frac 12}{\sqrt{Var(U)}} \,$

wobei

$M(U)=\frac{n_1n_2}2 \,$

und

$Var(U)=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}-\frac{n_1n_2}{(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}\times TS \,$

wobei

$TS=\sum_{j=1}^\tau \frac{(t_j)(t_j-1)(t_j+1)}{12}\,$ sein wird.

$\tau \,$ ist die Anzahl der Verbindungen in der Stichprobe und $t_j\,$ die Anzahl der Verbindungen in der j-ten Gruppe.
Beachten Sie, dass, sollte es keine Verbindungen geben, die Varianz von $U \,$ reduziert wird auf $\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\,$

Weitere Einzelheiten zu dem Algorithmus finden Sie unter nag_mann_whitney (g08amc).