逆行列

内容 1 説明 2 ダイアログオプション 3 アルゴリズム 4 参考文献

説明

Xファンクションminverse は、随伴行列をその決定因子で除算する方法で、逆行列を生成します。行列が逆行列または決定因子を持たない場合、Moore-Penrose疑似逆行列が計算されます。

この機能を使用するには、

1. データを持つ新しい行列を作成します。
2. 行列をアクティブにします。
3. メインメニューから解析：数学：逆行列を選択すると interp2 ダイアログボックスが開きます。

ダイアログオプション

再計算	分析結果の再計算を制御します。 なし 自動 手動 詳細は、以下をご覧下さい。分析結果の再計算
入力行列	入力行列を選択します 範囲制御についてはこちらを確認してください：入力データを指定する
出力行列	逆行列の出力場所を指定します。 範囲制御についてはこちらを確認してください：結果の出力

アルゴリズム

\(A\!\) の正方階数行列に対し、逆行列 \(A^{-1}\!\) (正則行列)は次の関係を満たします。

\[AA\!^{-1}=A\!^{-1}\!A=I\!\]

ここで \(I\!\) は単位行列です。

\(A^{-1}\!\) の計算は次のように表現できます。

\[A^{-1}=\frac 1{|A|}A^{*}\]

ここで、\(|A|\!\) は行列 \(A\!\) の決定因子で、\(A^*\!\) は随伴行列です。

\[A^*=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

\[a_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}|A^{ij}|\]

ここで、\(A^{ij}\!\) は、\(A\!\) の \(i_{th}\!\) 列 \(j_{th}\!\) 行を取り除いた行列 \((n-1)\times (n-1)\) です。

行列が逆行列または決定因子を持たない場合、Moore-Penrose疑似逆行列が計算されます。これは、どんな \((m,n)\!\) 行列に対しても存在します。

\((m\times n)\) 行列の \(A\!\) が与えられると、\(A^+\!\) は固有の \(n\times m\!\) 疑似行列です。\(m>n\!\) でA が最大階数行列の場合、\(A^+\!\) は次の式を満たします。

\[A\!^{+}=(A^TA)\!^{-1}A\!^T\]

計算は、行列\(A\!\) の特異値分解(SVD)に基づいており、許容値以内のどんな特異値も0として扱われます。\(A\!\) の階数が最大でない場合、行列は小さい行列に合わせて縮小されます。

参考文献

1.E. H. Moore:On the reciprocal of the general algebraic matrix.Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920).

2.Roger Penrose:A generalized inverse for matrices.Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955).