Inverse

Inhalt

Beschreibung

Die X-Funktion minverse erzeugt eine inverse Matrix, indem Sie die Adjunkte durch ihre Determinante teilt. Wenn Matrizen keine Inversen oder Determinanten haben, wird eine Moore-Penrose-Pseudoinverse berechnet.

Zugriff auf diese Funktion über die Bedienoberfläche:

  1. Öffnen Sie eine neue Matrix mit Daten.
  2. Aktivieren Sie die Matrix.
  3. Wählen Sie Analyse: Mathematik: Inverse, um den Dialog minverse zu öffnen.

Dialogoptionen

Neu berechnen

Bedienelemente zur Neuberechnung der Analyseergebnisse

  • Kein
  • Auto
  • Manuell

Weitere Informationen finden Sie unter Analyseergebnisse neu berechnen.

Eingabematrix

Legen Sie die Eingabematrix fest.

Hilfe zum Festlegen von Bereichen finden Sie hier: Eingabedaten festlegen

Ausgabematrix

Legen Sie fest, wo die inverse Matrix ausgegeben wird.

Hilfe zum Festlegen der Bereiche finden Sie unter: Ergebnisse ausgeben

Algorithmus

Für eine Quadrat- und Rangmatrix von A\! erfüllt die inverse Matrix A^{-1}\!, die auch als reziproke Matrix bezeichnet wird, wird folgendes Verhältnis:

AA\!^{-1}=A\!^{-1}\!A=I\!

wobei I\! die Identitätsmatrix ist.

Die Berechnung von A^{-1}\! kann ausgedrückt werden mit:

A^{-1}=\frac 1{|A|}A^{*}

wobei |A|\! die Determinanten der Matrix A\! meint, und A^*\! die Adjunkte ist von

A^*=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}

a_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}|A^{ij}|

wobei A^{ij}\! die Matrix (n-1)\times (n-1) ist, indem die Spalte i_{th}\! und Zeile j_{th}\! aus A\! entfernt wird.

Wenn Matrizen keine Inversen oder Determinanten haben, wird eine Moore-Penrose-Pseudoinverse berechnet. Sie existiert für jede (m,n)\! Matrix.

Bei einer gegebenen (m\times n) Matrix A\!, ist A^+\! die eindeutige n\times m\! pseudoinverse Matrix. Wenn m>n\! und A vollen Rang haben, dann erfüllt A^+\! Folgendes:

A\!^{+}=(A^TA)\!^{-1}A\!^T

Die Berechnung basiert auf einer singulären Wertzerlegung (SVD) der Matrix A\!. Jeder singuläre Wert innerhalb der Toleranz wird als Null behandelt. Wenn der Rang von A\! nicht voll ist, schrumpft die Matrix zu einer kleineren Matrix.

Referenzen

1. E. H. Moore: On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920).
2. Roger Penrose: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955).