Algorithmus (Hilbert)

Die Hilbert-Transformation wird folgendermaßen definiert:

$g(y)=H(f(x))\frac 1\pi \int_{-\infty }^\infty \frac{f(x)dx}{x-y}\,\!$

Dies weist darauf hin, dass die Hilbert-Transformation als Faltung betrachtet werden kann:

$g(y)=\frac 1{\pi x}*f(x) \,\!$

wobei fft(?) den schnellen Fourier-Transformationsoperator und ifft(?) den inversen schnellen Fourier-Transformationsoperator bezeichnet.

Es ist bekannt, dass

$fft(\frac 1{\pi x})=-jsgn(freq) \,\!$ , als eine spezielle Filterung der Fourier-Transformation des Eingabesignals berechnet werden. Die Filterung ändert die Frequenzkomponenten, indem eine Phasenverschiebung von -90 Grad bei einer positiven Frequenz und eine Phasenverschiebung von 90 Grad bei einer negativen Frequenz eingeführt wird. Die Amplituden bleiben unverändert. Durch Anwenden einer inversen Fourier-Transformation bei dem Produkt erhalten wir die Hilbert-Transformation der Eingabedaten.

Nach der Berechnung der Hilbert-Transformation kann das analytische Signal von ihrer Definition abgeleitet werden.