ランダム配置データのグリッディング法

ワークシートデータがXおよびY方向に等間隔に並んでいない場合、ランダムまたは等間隔でないXYデータに対するOriginの5つのグリッディング手法の1つを使います。

内容

1 Renka Cline法
2 Shepard
3 TPS (Thin Plate Spline)法
4 Kriging 相関
5 加重平均

Renka- Cline法

このグリッディング法は、1984年にRenka と Clineによって開発されたアルゴリズムに基づいています。このアルゴリズムの主要な計算は次のように行われます。

三角分割XYデータに対して三角分割法が実行されます。三角形は可能なかぎりほぼ等角になります。
傾斜推定二次関数の偏微分として、各格子におけるxy方向の傾斜を推定します。
補間任意の点 Pにおいて、データ値を使って補間された値と点Pを含む三角形の3つの頂点のそれぞれの位置での傾斜推定を計算します。

200~1000程度のデータポイントが一様に分布している場合には、Renka-Cline法は良い選択肢となります。

Shepard法

この手法は、Franke と Nielsonによって開発された修正Shepardグリッディング法を組み込んだものです。これは、次の式でデータを補間する、距離で重み付けしたグリッディング法です。

\[F(x,y)=\sum_{i=1}^nF_iW_i(x,y) \]

ここで \(F_i\,\!\) は、ノード (\(x_i\,\!\), \(y_i\,\!\)) における基本関数で、 \(W_i(x, y)\,\!\)は重み付けです。計算を制限するため、\(F_i\,\!\) と \(W_i\,\!\) は円の中心(\(x_i\,\!\), \(y_i\,\!\))で半径が \(R_q\,\!\) および \(R_w\,\!\) を持つ円の中にあるデータポイントで計算されます。

次の式で定義される重み付けで開始します。

\(w_i(x,y)=\frac{w_i(x,y)}{\sum_{k=1}^nw_k(x,y)}\).

半径 \(R_w\,\!\) を与えると、その相対的な重み付け \(w_k\,\!\) は、

\(w_k=[\frac{(R_w-d_k)_{+}}{R_wd_k}]^2\) ここで、

\[ \begin{cases} R_w-d_k \, if \, d_k<R_w,\\ 0 \, if \, d_k\geq R_w, \end{cases} \]

\(d_k\,\!\)は (x, y) と(\(x_k\,\!\), \(y_k\,\!\))間の距離です。

\(d_k=||(x_k,y_k)-(x,y)||_2\,\!\).

どの \(R_w\,\!\) >0においても、次のようになります。

\(W_i(x_j,y_j)\,\!\)=\( \begin{cases} 1,i=j\\ 0,otherwise \end{cases} \)

\(\sum_{k=1}^nW_k(x,y)=1\).

次に、節点関数 \(F_i\,\!\) が局所的な近似関数 \(Q_k\,\!\) に置き換えられます。

\[Q_k(x,y)=c_{k1}(x-x_k)^2+c_{k2}(x-x_k)(y-y_k)+c_{k3}(y-y_k)^2+c_{k4}(x-x_k)+c_{k5}(y-y_k)+F_k\,\!\]

\(Q_k\,\!\) は、節点の \(R_q\,\!\) 範囲内にあるデータに重み付けされた最小二乗二次フィット関数です。そして、係数は次の式を最小化するものです。

\[\varepsilon _k=\sum_{i=1,j\neq k}^N\omega _i(x_k,y_k)[c_{k1}(x_i-x_k)^2+\ldots +c_{k5}(y_i-y_k)+F_k-F_i]^2\]

ここで

\(\omega _i(x,y)=[\frac{(R_q-d_i)_{+}}{R_qd_i}]^2=[\frac{(R_q-||(x_i,y_i)-(x,y)||_2)_{+}}{R_q||(x_i,y_i)-(x,y)||_2}]^2\).

上記で補間関数は、局所近似関数であり、格子ポイント \(R_q\,\!\) および \(R_w\,\!\)での影響半径に依存すると考えることができます。2つの整数 \( N_q\,\!\) と \(N_w\,\!\) が、\(R_q\,\!\) と \(R_w\,\!\)を計算するのに使われます。(これらは、関数のパラメータ q と w であり、それぞれ二次補間局所因子と重み関数局所因子です詳細は、このセクションの『XYZグリッディングダイアログボックス』をご覧ください。)

\(R_q=\frac D2\sqrt{\frac{N_q}n}\) および \(R_w=\frac D2\sqrt{\frac{N_w}n}\)

ここで n はデータポイントの数で、 D は一対のデータポイント間の距離の最大です。そのため、\(N_q\,\!\) と \(N_w\,\!\) は、それぞれ各格子において、距離 \(R_q\,\!\)および \(R_w\,\!\) の範囲内にあるデータポイントの平均の数だと考えることができます。

\(N_q\,\!\) と \(N_w\,\!\) の値を増加させると、計算が全体に及ぶようになり、同様にこれらの値を減少させると、計算が局所的になります。一般に、\(N_q \approx 2N_w\)とすると良い結果が得られます。デフォルトでは \(N_q= 18\,\!\) および \(N_w= 9\,\!\) となっています。しかし、以下の制約を満たしている必要があります。\(0 < N_w \leq N_q\).

「XYZグリッディング」ダイアログは、 NAG 関数ライブラリを呼び出して、Shepardグリッディング法を実行しています。また、Originは Shepardグリッディング法を行うXファンクションも提供しており、xyz_shep_nag および xyz_shepは、\(R_q\,\!\) と \(R_w\,\!\) を使って、この手法を組み込んでいます。

TPS (Thin Plate Spline)法

この関数は、TPS(Thin Plate Spline)アルゴリズムを使って、ランダム配置データの行列変換を行う手法を提供しています。TPS法は、物理的な補間の方法です。グリッディングデータを生成するため、この方法では、すべてのデータポイントが薄い弾性プレートまたはスプライン上に分布しているものと仮定します。プレートはグリッド点に制限され、グリッド点を結ぶことで、2次元の曲面を形成します。曲面は、データポイントに合うように形成するために点と点の間で変形します。最適な結果は、通常、スプラインの「曲げエネルギー関数」を最小化することで見つかります。

この手法は、曲げエネルギーの最小値を見つけるので、プレートの変形を最小に抑え、より良い結果が得られます。この計算は、曲率計算を最小化するのにも似ています。TPSグリッディング法を使った曲面プロットは、他の手法よりも滑らかになりますので、この手法は、局所的に平坦な曲面の補間に対して適しています。

TPSアルゴリズムの数学的な説明としては、次の曲げエネルギー関数が与えられ

\[I=\iint_{R^2}(f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2)dxdy\]

そして、最小化される関数は

\[f(x,y)=a_1+a_xx+a_yy+\sum_{i=1}^pw_iU(||(x_i,y_i)-(x,y)||)\]

ここで、\(U(r)=r^2\log (r^2)\,\!\)　です。

TPSグリッディングを実行するには、スムージングのパラメータと補外パラメータを指定する必要があり、スムージングのパラメータは補間した曲面の滑らかさを制御し、補外パラメータは、元のデータの範囲を超えて行列のセルにデータを入力するのに使用されます。

TPSアルゴリズムについての詳細は、参考文献『Donato and Belongie, Approximation Methods for Thin Plate Spline Mappings and Principal Warps』をご覧下さい。

Kriging相関法

Kriging法(鉱山工学者の D. G Krigeの名前から付けられた)は、空間データを補間するのに、よく知られている地理統計学の手法です。この手法は、重み付けした隣接平均により、計算したい位置(グリッド点)での推定した分散を最小化する重み付け移動平均補間(補外)法です。そして、重み付けした値は元データの空間的な相関構造で決定します。

このアルゴリズムは、空間の連続性または従属性のモデルが必要です。通常、処理を2つに分けることができます。

計算したい領域毎に分けた変数の半分散図を作成します。Originは距離の情報を計算し、半分散値に変換して表に保存し、半分散値に重みを付けます。この半分散図は、入力データセットでの標本間の差の増分や相関の減少を説明するものです。
この従属モデルを使って、z値の空間ポイントの値を計算します。

Kriging相関法を実行するとき、次のパラメータを使って処理を制御することができます。

滑らかさ：補間の精度を制御します。

最小ポイント: Zの計算に必要な最小の制御ポイントの数をセットします。

検索半径：どれだけ離れたポイントをZの計算対象にするかを指定します。

Kriging法についての詳細は、参考文献『Stein, Interpolation of Spatial Data』をご覧ください。

加重平均

加重平均法は、1/rの重み付けを持つポイントの単純な加重平均で、rは、検索半径の範囲内にあるセルからの各ポイントの距離です。検索半径の範囲内に値が無い場合、少なくとも1ポイント出現するまで半径を拡大します。検索半径を拡大するということは、各ポイントは隣り合うポイントとの内部的な関係を強め、詳細な部分を失って、より滑らかな曲面を作成するということになります。