Algorithmen (Kreuztabelle)
Inhalt |
Kreuztabellen werden auch als Kontingenztabellen bezeichnet. Dieses Hilfsmittel wird verwendet, um das Vorhandensein bzw. die Stärke der Assoziation zwischen Variablen zu untersuchen.
Kreuztabellenmethode
- Häufigkeitszählung
- Rand und Zelle
- Tabelle der Chi-Quadrat-Tests
- Tabelle von Fishers Exaktem Test (nur 2 x 2)
- Assoziationsmaße
- Übereinstimmungsmaße
- Quotenverhältnis und Relatives Risiko (nur 2 x 2)
- Cochran-Mantel-Haenszel
Häufigkeitszählung
Definieren
-
/math-a97118fb9e8d7e006a466bfc0771f888.png?v=0 "X_i")
sind eindeutige Werte der Zeilenvariable in aufsteigender Reihenfolge, d.h. /math-afa34668ee4178285b425ccef9790f80.png?v=0 "X_1 < X_2 < \cdots X_R")
-
/math-762c0f38c71ffa6e93f0a1daab55ab04.png?v=0 "Y_i")
sind eindeutige Werte der Spaltenvariable in aufsteigender Reihenfolge, d.h. /math-443ff437c68afb202ac14bf0d0046751.png?v=0 "Y_1 < Y_2 < \cdots Y_C")
-
/math-e5896e2e0b803ed74e0a3ee9ec61d795.png?v=0 "f_{ij}")
ist die Häufigkeit in Bezug zur Zelle /math-5270ae675fac24f97e172dcd9b18fa92.png?v=0 "(i,j)")
-
/math-1915a32e0c91c1f84a3056a294c65d30.png?v=0 "r_i = \sum_{j=1}^{C}f_{ij}")
ist die Teilsumme der /math-865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png?v=0 "i")
ten Zeile -
/math-be38e302d77e59345377566d7423034c.png?v=0 "c_j = \sum_{i=1}^{R}f_{ij}")
ist die Teilsumme der /math-363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png?v=0 "j")
ten Spalte -
/math-886246e4a3101263e1138e72bfc977e6.png?v=0 "N = \sum_{j=1}^{C}c_j = \sum_{i=1}^{R}r_i")
ist die Gesamtanzahl.
Rand und Zelle
| Statistik | Formel und Erklärung |
|---|---|
| Anzahl | |
| Erwartete Anzahl | /math-f30a2b0e3370f0814c959957a224dd89.png?v=0 "E_{ij} = \frac{r_i c_j}{N}") |
| Prozent Zeile | /math-19639d8682c50097fbde98f448d6a16a.png?v=0 "100*\frac{f_{ij}}{r_i}") |
| Prozent Spalte | /math-589eb80e404ec249dc486616aaf78822.png?v=0 "100*\frac{f_{ij}}{c_j}") |
| Prozent gesamt | /math-3357da1c1efa26e265b977d3b0670c1c.png?v=0 "100*\frac{f_{ij}}{N}") |
| Residuum | /math-56959063ec3204d0aeeae97829b457f3.png?v=0 "R_{ij} = f_{ij} - E_{ij}") |
| Std. Residuum | /math-c48259c9651c2f6503d9960937e6533e.png?v=0 "StdR_{ij} = \frac{R_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}") |
| Kor. Residuum | /math-c0843832a859ffc34d11d9099f6428b0.png?v=0 "AdjR_{ij} = \frac{R_{ij}}{\sqrt{E_{ij}\left(1-\frac{r_i}{N}\right)\left(1-\frac{c_j}{N}\right)}}") |
Chi-Quadrat-Statistik
| Statistik | Formel und Erklärung | Freiheitsgrade |
|---|---|---|
| Pearsons Chi-Quadrat | /math-16abb82ca7492ebc6d92c48f3cb57156.png?v=0 "\chi_p^2 = \sum_{ij} \frac{(f_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}") |
/math-457e064382dbfc17fa5acc98b7037504.png?v=0 "(R-1)(C-1)") |
| Likelihood-Verhältnis | /math-5711c9b4ed36c6b98d89fb52d062fc0a.png?v=0 "\chi_{LR}^2 = -2\sum_{ij} f_{ij} \ln (E_{ij}/f_{ij})") |
|
| Lineare Assoziation | /math-3f74d84e50dc6faa63daef4080aacb1d.png?v=0 "\chi_{LA}^2 = (N-1)r^2") , wobei /math-4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png?v=0 "r") der Korrelationskoeffizient nach Pearson ist. |
/math-c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png?v=0 "1") |
| Kontinuitätskorrektur | /math-229934e6de0b77d0cfb90e85aa101495.png?v=0 "\chi_C^2 = \frac{N(|f_{11}f_{22}-f_{12}f_{21}|-0.5N)^2}{r_1r_2c_1c_2} I(|f_{11}f_{22}-f_{12}f_{21}|>0.5N)") , das nur für 2 x 2-Tabellen berechnet wird. |
|
Fishers Exakter Test
Dieser Test ist nützlich, wenn eine erwartete Zellenanzahl gering ist (weniger als 5). Er wird nur für 2 x 2-Tabellen berechnet. Angenommen, Sie haben folgende Tabelle:
/math-0d5fa3f335333b23d4aaf795d1336587.png?v=0 "X_1") |
/math-e209e24a3d42a840c21481572570342f.png?v=0 "X_2") |
Teilsumme/Summe | |
|---|---|---|---|
/math-c772000136f6d3ba6dec3c7c5a35458b.png?v=0 "Y_1") |
/math-6c773b2b7798e5713845e475d0c4b4c7.png?v=0 "n_1") |
/math-5967eff521c650a997f82f083abf639a.png?v=0 "n_3") |
/math-6657a6c206f3e5e31275783a3668e5de.png?v=0 "n_1+n_3") |
/math-b5825a6794db70d759fd6fa7eb747fd7.png?v=0 "Y_2") |
/math-e501ae2ad90dc374410a774da21c5739.png?v=0 "n_2") |
/math-43c5783d36b015e36edeecd60da73206.png?v=0 "n_4") |
/math-4d19d3c0c698ba1ab821a9d391ae4fac.png?v=0 "n_2+n_4") |
| Teilsumme/Summe | /math-f16c4024084f71bae29d858ad345502b.png?v=0 "n_1+n_2") |
/math-7f53026eedc310e75b8bfbaafcc98e9d.png?v=0 "n_3+n_4") |
/math-8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png?v=0 "N") |
Unter der Nullhypothese (Unabhängigkeit) ist die Anzahl der ersten Zelle /math-865adb153c19640c27383f3fc1ee7e8a.png?v=0 "N_1")
eine hypergeometrische Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit gegeben mit
/math-b81fe4db9d9ce8c9e4d200ced42c19c9.png?v=0 "Pr(N_1=n_1) = \frac{(n_1+n_2)!(n_3+n_4)!(n_1+n_3)!(n_2+n_4)!}{N!n_1!n_2!n_3!n_4!}")
, /math-10def7f70d948d677a406c91c82bf307.png?v=0 "\max(0,n_1-n_4)\leq N_1 \leq \min(n_1+n_2,n_1+n_3)")
.
Einseitiger Test
Das Signifikanzniveau des einseitigen Tests wird berechnet mit
- p(left-sided test) =
/math-86e6e38543be7730a5d275879331853b.png?v=0 "Pr(N_1\leq n_1)")
- p(right-sided test) =
/math-a0da9ea8cfd87134a3bc676fc188f06e.png?v=0 "Pr(N_1\geq n_1)")
Zweiseitiger Test
Die zweiseitige Signifikanz ist
/math-26774c9dfcd5e97bc46f921e5d961bc3.png?v=0 "p_2 = p_1 + p_3")
wobei
/math-81db1a1a7d204cda8eca78cd1626e9d0.png?v=0 "p_{1}= Pr(N_1\leq n_1)")
, wenn /math-ad6e799464206e320a500025fbb12f7f.png?v=0 "n_{1}\leq (n_{1}+n_{2})(n_{1}+n_{3})/N")
/math-e793456f33b630b6743c3e2532b86d9e.png?v=0 "p_{1}= Pr(N_1\geq n_1)")
, wenn /math-dff4b325fc0edc3fc4cf9134afe80cd6.png?v=0 "n_{1}>(n_{1}+n_{2})(n_{1}+n_{3})/N")
/math-fb4549dbe0388469b28f1e469e8dbccc.png?v=0 "p_3 = \sum_{x:\text{ between }\min(n_1+n_2,n_1+n_3) \text{ and } (n_1+1); Pr(N_1=x) \leq Pr(N_1=n_1)} Pr(N_1=x)")
Assoziationsmaße
Definieren
-
/math-e1447424a87a72997354115e74f780d2.png?v=0 "D_r = N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_i^2")
-
/math-9a63691fc5e41c8da93b03ae0e8fc436.png?v=0 "D_c = N^2 - \sum_{j=1}^{C}c_j^2")
-
/math-0bf9a641a2a2f9570c4874c60e4ff055.png?v=0 "C_{ij} = \sum_{h<i}\sum_{k<j}f_{hk}+\sum_{h>i}\sum_{k>j}f_{hk}")
-
/math-abe49e571496aef0ee9284532118e575.png?v=0 "D_{ij} = \sum_{h<i}\sum_{k>j}f_{hk}+\sum_{h>i}\sum_{k<j}f_{hk}")
-
/math-ae03d6a4fc3d6bde417a7352ed6c0d76.png?v=0 "P = \sum_{ij}f_{ij}C_{ij}")
-
/math-1306db1d8aedf83c64c23134dc6f6cce.png?v=0 "Q = \sum_{ij}f_{ij}D_{ij}")
- ist die Teilsumme der ten Zeile
- ist die Teilsumme der ten Spalte
- ist die Gesamtanzahl.
| Statistik | Formel und Erklärung | Standardfehler | |
|---|---|---|---|
| Phi-Koeffizient | /math-ade4cff8aeb025b9cae15f35a2dcd46d.png?v=0 "\phi = \sqrt{\chi_p^2/N}") , das nicht für 2 x 2-Tabellen berechnet wird. Für eine 2 x 2-Tabelle ist er gleich Der Wert reicht von |
||
| Cramérs V | /math-32808fbdf779579250ced07a3b57f092.png?v=0 "V = \sqrt{\frac{\chi_p^2}{N\min\{R,C\}}}") |
||
| Kontingenzkoeffizient | /math-0512a20370c1a32d02c46e82c38d5767.png?v=0 "CC = \sqrt{\frac{\chi_p^2}{\chi_p^2+N}}") |
||
| Gamma | /math-ca54853c333dece226fd892c1471fca6.png?v=0 "\gamma = \frac{P-Q}{P+Q}") |
/math-ceeab2bf0dfc9669dc3af396bdf3b9f0.png?v=0 "\frac{2}{P+Q}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}") | |
| Kendall | Tau-b | /math-d483a07e25f428eae9e524345b1f6097.png?v=0 "\tau_b = \frac{P-Q}{\sqrt{D_rD_c}}") |
![2\sqrt{\frac{1}{D_rD_c}\left[\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2\right]}](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-e06a2ae207bc0f4367248d2f7795410b.png?v=0 "2\sqrt{\frac{1}{D_rD_c}\left[\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2\right]}") |
| Tau-c | /math-bf85650ad481dd12febaf1005608bac6.png?v=0 "\tau_c = \frac{(P-Q)q}{N^2(q-1)}") , wobei /math-0d910548fc627e702b2e9d398eeed3bc.png?v=0 "q = \min\{R,C\}") |
/math-423d45130bb7e6a7741ed999591467b1.png?v=0 "\frac{2q}{N^2(q-1)}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}") | |
| Somers D | C/math-b99834bc19bbad24580b3adfa04fb947.png?v=0 "|") R |
/math-a55cc67126812452ebb989878123e1d1.png?v=0 "d_{C|R} = \frac{P-Q}{D_r}") |
/math-e1b49506418c36946f11b0273a1ff255.png?v=0 "\frac{2}{D_r}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}") |
| RC |
/math-95c75be2de7e1e529a221f1b6ff2c0ae.png?v=0 "d_{R|C} = \frac{P-Q}{D_c}") |
/math-08de37f7d4b6824a6f734bab201f8682.png?v=0 "\frac{2}{D_c}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}") | |
| Symmetrisch | /math-7b2342cd106f701a2394591454e27dc3.png?v=0 "d = 2\frac{P-Q}{D_c+D_r}") |
/math-13b710204e1ae878fb90eee4ce577ed8.png?v=0 "\frac{4}{D_c+D_r}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}") | |
| Lambda | CR |
/math-0fcfa7cd51e5e3ebb6720715537fc2d4.png?v=0 "\lambda_{C|R} = \frac{1}{N-c_m}\left(\sum_{i=1}^{R}f_{im}-c_m\right)") , wobei /math-45764555b24d287ac9b6919d6e8d06e3.png?v=0 "f_{im}") die größte Anzahl in der i-ten Zeile ist und /math-809448c12da6a61638ab2987bc9fcaeb.png?v=0 "c_m") die größte Spaltenteilsumme. |
/math-40624954a038197124010a9924745b44.png?v=0 "\sqrt{ \frac{ N - \displaystyle\sum_{i=1}^{R} f_{im} }{ (N-c_m)^3 } \left(\sum_{i=1}^{R} f_{im} + c_m -2\sum_{i=1}^{R} (f_{im}|l_i=l) \right) }") ,wobei |
| RC |
/math-8907cb58cfbcf70876c3fa1d022a54da.png?v=0 "\lambda_{R|C} = \frac{1}{N-r_m}\left(\sum_{j=1}^{C}f_{mj}-r_m\right)") ,wobei |
/math-1211ae29c851f8f0a06dffae60fea2b7.png?v=0 "\sqrt{ \frac{ N - \displaystyle\sum_{j=1}^{C} f_{mj} }{ (N-r_m)^3 } \left(\sum_{j=1}^{C} f_{mj} + r_m -2\sum_{j=1}^{C} (f_{mj}|k_j=k) \right) }") ,wobei | |
| Symmetrisch | /math-e1eba21c82a1b082d636a63187cb00a7.png?v=0 "\lambda = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^{R}f_{im} + \sum_{j=1}^{C}f_{mj} - c_m - r_m }{2N-r_m-c_m}") |
/math-19a542d5e209aac0810776eadb8cedef.png?v=0 "\frac{1}{w^2} \sqrt{ wvy - 2w^2\left( N-\sum_{i=1}^{R} (f_{im}|i=k_{l_i}) \right) - 2v^2(N-f_{kl}) }") wobei | |
| Unsicherheit | CR |
/math-41d754f4bf76713a35b0c1284fd54c34.png?v=0 "U_{R|C} = \frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(Y)}") , wobei /math-6c101af2c4e5d9d4e9a71bfd9cd1cee9.png?v=0 "U(X) = -\sum_{i=1}^{R}\frac{r_i}{N}\ln\frac{r_i}{N}") und /math-9801595969688b934b63df41a05e7c30.png?v=0 "U(Y) = -\sum_{j=1}^{C}\frac{c_j}{N}\ln\frac{c_j}{N}") und /math-ea444840a2b4f491836ac96f310228fc.png?v=0 "U(XY) = -\sum_{ij}\frac{f_{ij}}{N}\ln\frac{f_{ij}}{N}") |
/math-9ea06b87526a38e4d91042ca8c4fe917.png?v=0 "\frac{1}{NU(Y)}\sqrt{P-N\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}") , wobei /math-bed50ae560cb148d344cf16dcd5a0108.png?v=0 "P = \sum_{ij}f_{ij}\ln\left(\frac{r_ic_j}{f_{ij}N}\right)^2") |
| RC |
/math-2f741623b6366e540eaba9c97d083e7b.png?v=0 "U_{C|R} = \frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(X)}") |
/math-eed562bf2445e78c73aa3c344fb75249.png?v=0 "\frac{1}{NU(X)}\sqrt{P-N\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}") | |
| Symmetrisch | /math-1b42c23d992439355e27425484c6fe29.png?v=0 "U = 2\frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(X)+U(Y)}") |
/math-16431aabee7e70358843ece1fbd3d1c7.png?v=0 "\frac{2}{N(U(X)+U(Y))}\sqrt{P-\frac{1}{N}\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}") | |
![[0,M]](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-ab68f1b76095c4fe09bbc55661bfa168.png?v=0 "[0,M]")
, wobei /math-557fee2c06855d00673e05c0d165d00e.png?v=0 "M = min(\sqrt{R-1},\sqrt{C-1})")
,/math-b39335b6584e8455ab4de3c86b439e21.png?v=0 "l_i")
der Spaltenindex von /math-2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png?v=0 "l")
der Index der Spaltenteilsumme für /math-4df3903f1f8e364348208bf47bb42ec0.png?v=0 "f_{mj}")
die größte Anzahl in der j-ten Spalte ist und /math-ad2fdd8ee6e6b23d512c21f9be0c1117.png?v=0 "r_m")
die größte Zeilenteilsumme./math-a4546bcd382733f23282f745bd3e2e98.png?v=0 "k_j")
der Zeilenindex von /math-8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png?v=0 "k")
der Index der Zeilenteilsumme für /math-482184ecfe89cf022f132ec45b287995.png?v=0 "w=2N-r_m-c_m")
, /math-e440a2c7d776b0b2dbea9c561d0b426c.png?v=0 "v = 2N - \sum_{i=1}^{R}f_{im} - \sum_{j=1}^{C}f_{mj}")
, /math-c6adf2e551f3d61a8c29e74ec448990b.png?v=0 "x = \sum_{i=1}^R (f_{im}|l_i=l) + \sum_{j=1}^C (f_{mj}|k_j=k) + f_{km} + f_{ml}")
und /math-9864388d59406b2ca9fc4b3b8b495d0c.png?v=0 "y = 8N - w - v - 2x")
.Übereinstimmungsmaße
Diese Tabelle wird nur berechnet, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: (1) quadratische Tabelle, d.h. /math-edb010593263510315660511c8d3fffd.png?v=0 "R=C")
, und (2) die Zeilenvariable und die Spaltenvariable die gleichen Werte haben.
Die Kappa-Statistik wird berechnet mit:
/math-5254a7c3d0d060337a3cbbbdf6875b25.png?v=0 "\kappa = \frac{N\sum_{i=1}^{R}f_{ii} - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i}{N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i}")
Der Standardfehler wird geschätzt mit:
/math-d5df0387ad3559e108f0277be4b93139.png?v=0 "SE_1 = \frac{1}{1-p_e} \sqrt{ \frac{A+B-C}{N} }")
.
wobei /math-bf7508ed7ef577a0788e418015208540.png?v=0 "p_e = \frac{ \sum_{i=1}^R r_i c_i }{ N^2 }")
, /math-076dba1512e9c770a80347941db7b618.png?v=0 "A = \sum_{i=1}^R \frac{f_{ii}}{N} \left( 1-\frac{(r_i+c_i)(1- \kappa)}{N} \right)^2")
,
/math-7ccc2452ce9ae57bfb1b04168cf43e22.png?v=0 "B = (1-\kappa)^2 \sum_{i=1}^R \sum_{j=1, j \ne i}^{C} \frac{f_{ij} (r_i+c_j)^2}{N^3}")
und /math-b3d3228022c4151930cd2512e69756bf.png?v=0 "C = \Bigl( \kappa - p_e( 1-\kappa ) \Bigr)^2")
.
Der entsprechende asymptotische Standardfehler unter der Nullhypothese /math-25613c08c6b68a9704ffc406287fdbd2.png?v=0 "\kappa = 0")
ist gegeben mit
![SE_0 = \sqrt{\frac{1}{N\left(N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2} \left[N^2\sum_{i=1}^{R}r_ic_i + \left(\sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2 - N \sum_{i=1}^{R}r_ic_i(r_i+c_i)\right]}](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-2fb11a39b32089a9fb7b374c23a68abc.png?v=0 "SE_0 = \sqrt{\frac{1}{N\left(N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2} \left[N^2\sum_{i=1}^{R}r_ic_i + \left(\sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2 - N \sum_{i=1}^{R}r_ic_i(r_i+c_i)\right]}")
Eine weitere verwandte Statistik ist Bowker, die verwendet wird, um /math-ba67ef5ead9d27984e0fc008b6a4ceeb.png?v=0 "H_0: p_{ij} = p_{ji}")
für alle Paare zu testen. Wenn /math-7b6f9d86b5ef2eaa20b9fb1427a88ed1.png?v=0 "R>2")
, wird die Statistik berechnet als
/math-d430e26fecf56fc1e12fb1c885b0977d.png?v=0 "Bo = \sum_{i=1}^R \sum_{j=1}^{j<i}\frac{(f_{ij}-f_{ji})^2}{f_{ij}+f_{ji}}")
Für größere Samples ist /math-b0d8913d4dfb85c2325c0773ff52ae98.png?v=0 "Bo")
die asymptotische Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Freiheitsgrad /math-a2718716a0f1de1548d7c9904548263e.png?v=0 "0.5R(R-1)")
.
Beachten Sie, dass Bowkers Test für 2 x 2-Tabellen gleich McNemars Test ist. Daher wird hier nur Bowkers Test gezeigt.
Quotenverhältnis und Relatives Risiko
Diese Statistik wird nur für 2 x 2-Tabellen berechnet.
Quotenverhältnis
Das Quotenverhältnis wird berechnet mit
/math-3fa39a72468c2793e5b60fc04aa0aef1.png?v=0 "OR = \frac{f_{11}f_{22}}{f_{12}f_{21}}")
Relatives Risiko
Die relativen Risiken sind gegeben mit
/math-ddef868fb9aede240998288fda3c3aa7.png?v=0 "P(Y_1|X_1)/P(Y_1|X_2) = \frac{f_{11}(f_{21}+f_{22})}{f_{21}(f_{11}+f_{12})}")
/math-d2ceb3919433fdc636aaa24dbf97eff3.png?v=0 "P(Y_1|X_2)/P(Y_1|X_1) = \frac{f_{21}(f_{11}+f_{12})}{f_{11}(f_{21}+f_{22})}")
/math-beb356acfebcc913c83cc436c4c1a294.png?v=0 "P(Y_2|X_1)/P(Y_2|X_2) = \frac{f_{12}(f_{21}+f_{22})}{f_{22}(f_{12}+f_{11})}")
/math-dccda1547a25ca3e806a9ca71e7f18b8.png?v=0 "P(Y_2|X_2)/P(Y_2|X_1) = \frac{f_{22}(f_{12}+f_{11})}{f_{12}(f_{21}+f_{22})}")
Cochran-Mantel-Haenszel
Definieren
-
/math-a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png?v=0 "K")
ist die Anzahl der Layer -
/math-e556497bde20dfbfa75643809f1ebdf7.png?v=0 "f_{ijk}")
ist die Häufigkeit in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und im k-ten Layer -
/math-7cf78813f9fae08fd878f1cc53cf8537.png?v=0 "c_{jk} = \sum_{i=1}^{R} f_{ijk}")
ist die j-te Spalte, Teilsumme des k-ten Layers -
/math-a724d1b708d3641b5ecf703c6e82edfe.png?v=0 "r_{ik} = \sum_{j=1}^{C} f_{ijk}")
ist die i-te Zeile, Teilsumme des k-ten Layers -
/math-f6efcc282f93fcf708632763b952abeb.png?v=0 "n_{k} = \sum_{i=1}^{R}\sum_{j=1}^{C} f_{ijk}")
ist die Teilsumme des k-ten Layers -
/math-6a3fbc33c2b95cce81a2b588a43535b3.png?v=0 "E_{ijk} = \frac{r_{ik}c_{jk}}{n_k}")
ist die erwartete Häufigkeit in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und im k-ten Layerzelle -
/math-5f5f9e9f589b49daa28976461688df13.png?v=0 "\hat{p}_{ik} = \frac{f_{i1k}}{r_{ik}}, d_k = \hat{p}_{1k} - \hat{p}_{2k}, \hat{p}_{k} = \frac{c_{1k}}{n_{k}}")
Mantel-Haenszel-Statistik
Die Mantel-Haenszel-Statistik ist gegeben mit
/math-a19d6f25b272775d916bf03f49c392a7.png?v=0 "MH = \left(\sum_{k=1}^{K}\frac{r_{1k}r_{2k}}{n_k-1} \hat{p}_{k}(1-\hat{p}_{k}) \right)^{-1/2}\left(\big|\sum_{k=1}^{K} (f_{11k}-E_{11k})\big|-0.5\right)sgn\left(\sum_{k=1}^{K} (f_{11k}-E_{11k})\right)")
wobei sgn die Vorzeichenfunktion /math-bac6f59daa3ed3f832a664093772d7f5.png?v=0 "sgn(x) = I(x>0)-I(x<0)+0*I(x=0)")
ist.
Breslow-Day-Statistik
Die Breslow-Day-Statistik ist
![BD = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-9e373b8a5825fcf21df5156eec3131d9.png?v=0 "BD = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2")
wobei /math-51a2177fcf45f2b8a173881132bf7396.png?v=0 "V_k = \frac{1}{\hat{f}_{11k}}+\frac{1}{\hat{f}_{12k}}+\frac{1}{\hat{f}_{21k}}+\frac{1}{\hat{f}_{22k}}")
.
Tarones Statistik
Tarones Statistik ist
![T = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2- \frac{\sum_{k=1}^{K}\left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K}\frac {1}{V_k} }](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-2d5715c073380230f9458c06eed9823c.png?v=0 "T = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2- \frac{\sum_{k=1}^{K}\left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K}\frac {1}{V_k} }")
wobei .
Allgemeines Quotenverhältnis
Für eine 2×2×K-Tabelle ist das Quotenverhältnis beim k-ten Layer /math-21626330e02733bfb9c5ce9522a3b6a4.png?v=0 "OR_{k}")
. Angenommen, dass das wahre allgemeine Quotenverhältnis existiert, das /math-1a28ceae6382df6568013684e1188e9e.png?v=0 "OR_{1}=OR_{2}=...OR_{K}")
lautet, dann ist Mantel-Haenszels Schätzer des allgemeinen Quotenverhältnisses
/math-488db329f6cab4e8b965215f34861f44.png?v=0 "\hat OR_{MH}=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}}{\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}")
Die asymptotische Varianz für /math-30df4328bbc77817e4b8cd73539d4829.png?v=0 "ln(\hat OR_{MH})")
ist:
![\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{12k} f_{21k}+(f_{12k}+f_{21k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{12k}+f_{21k})f_{12k} f_{21k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-fe6d99fcba77f28d2e62c52d30d014f4.png?v=0 "\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{12k} f_{21k}+(f_{12k}+f_{21k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{12k}+f_{21k})f_{12k} f_{21k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}")
Die untere Konfidenzgrenze (UEG) und obere Konfidenzgrenze (OEG) für sind:
![ln(\hat OR_{MH})-z({alpha}/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-687f3dc2952c8d8fc3ddafc624d1a1a3.png?v=0 "ln(\hat OR_{MH})-z({alpha}/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}")
und ![ln(\hat OR_{MH})+z(alpha/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}](/origin-help/en/images/Algorithm(CrossTabs)/math-e8dcfecb9336a5c778bcff6588b5c278.png?v=0 "ln(\hat OR_{MH})+z(alpha/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}")