Algorithmen (Kreuztabelle)

Inhalt 1 Kreuztabellenmethode 1.1 Häufigkeitszählung 1.2 Rand und Zelle 1.3 Chi-Quadrat-Statistik 1.4 Fishers Exakter Test 1.4.1 Einseitiger Test 1.4.2 Zweiseitiger Test 1.5 Assoziationsmaße 1.6 Übereinstimmungsmaße 1.7 Quotenverhältnis und Relatives Risiko 1.7.1 Quotenverhältnis 1.7.2 Relatives Risiko 1.8 Cochran-Mantel-Haenszel 1.8.1 Mantel-Haenszel-Statistik 1.8.2 Breslow-Day-Statistik 1.8.3 Tarones Statistik 1.8.4 Allgemeines Quotenverhältnis

Kreuztabellen werden auch als Kontingenztabellen bezeichnet. Dieses Hilfsmittel wird verwendet, um das Vorhandensein bzw. die Stärke der Assoziation zwischen Variablen zu untersuchen.

Kreuztabellenmethode

• Häufigkeitszählung
• Rand und Zelle
• Tabelle der Chi-Quadrat-Tests
• Tabelle von Fishers Exaktem Test (nur 2 x 2)
• Assoziationsmaße
• Übereinstimmungsmaße
• Quotenverhältnis und Relatives Risiko (nur 2 x 2)
• Cochran-Mantel-Haenszel

Häufigkeitszählung

Definieren

\(X_i\) sind eindeutige Werte der Zeilenvariable in aufsteigender Reihenfolge, d.h. \(X_1 < X_2 < \cdots X_R \)

\(Y_i\) sind eindeutige Werte der Spaltenvariable in aufsteigender Reihenfolge, d.h. \(Y_1 < Y_2 < \cdots Y_C \)

\(f_{ij}\) ist die Häufigkeit in Bezug zur Zelle \((i,j)\)

\(r_i = \sum_{j=1}^{C}f_{ij}\) ist die Teilsumme der \(i\)ten Zeile

\(c_j = \sum_{i=1}^{R}f_{ij}\) ist die Teilsumme der \(j\)ten Spalte

\(N = \sum_{j=1}^{C}c_j = \sum_{i=1}^{R}r_i\) ist die Gesamtanzahl.

Rand und Zelle

Statistik	Formel und Erklärung
Anzahl	\[f_{ij}\]
Erwartete Anzahl	\[E_{ij} = \frac{r_i c_j}{N}\]
Prozent Zeile	\[100*\frac{f_{ij}}{r_i}\]
Prozent Spalte	\[100*\frac{f_{ij}}{c_j}\]
Prozent gesamt	\[100*\frac{f_{ij}}{N}\]
Residuum	\[R_{ij} = f_{ij} - E_{ij}\]
Std. Residuum	\[StdR_{ij} = \frac{R_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}\]
Kor. Residuum	\[AdjR_{ij} = \frac{R_{ij}}{\sqrt{E_{ij}\left(1-\frac{r_i}{N}\right)\left(1-\frac{c_j}{N}\right)}}\]

Chi-Quadrat-Statistik

Statistik	Formel und Erklärung	Freiheitsgrade
Pearsons Chi-Quadrat	\[\chi_p^2 = \sum_{ij} \frac{(f_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\]	\[(R-1)(C-1)\]
Likelihood-Verhältnis	\[\chi_{LR}^2 = -2\sum_{ij} f_{ij} \ln (E_{ij}/f_{ij})\]	\[(R-1)(C-1)\]
Lineare Assoziation	\(\chi_{LA}^2 = (N-1)r^2\), wobei \(r\) der Korrelationskoeffizient nach Pearson ist.	\[1\]
Kontinuitätskorrektur	\(\chi_C^2 = \frac{N(|f_{11}f_{22}-f_{12}f_{21}|-0.5N)^2}{r_1r_2c_1c_2} I(|f_{11}f_{22}-f_{12}f_{21}|>0.5N)\), das nur für 2 x 2-Tabellen berechnet wird.	\[1\]

Fishers Exakter Test

Dieser Test ist nützlich, wenn eine erwartete Zellenanzahl gering ist (weniger als 5). Er wird nur für 2 x 2-Tabellen berechnet. Angenommen, Sie haben folgende Tabelle:

	\[X_1\]	\[X_2\]	Teilsumme/Summe
\[Y_1\]	\[n_1\]	\[n_3\]	\[n_1+n_3\]
\[Y_2\]	\[n_2\]	\[n_4\]	\[n_2+n_4\]
Teilsumme/Summe	\[n_1+n_2\]	\[n_3+n_4\]	\[N\]

Unter der Nullhypothese (Unabhängigkeit) ist die Anzahl der ersten Zelle \(N_1\) eine hypergeometrische Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit gegeben mit

\(Pr(N_1=n_1) = \frac{(n_1+n_2)!(n_3+n_4)!(n_1+n_3)!(n_2+n_4)!}{N!n_1!n_2!n_3!n_4!}\), \(\max(0,n_1-n_4)\leq N_1 \leq \min(n_1+n_2,n_1+n_3)\).

Einseitiger Test

Das Signifikanzniveau des einseitigen Tests wird berechnet mit

p(left-sided test) =\( Pr(N_1\leq n_1)\)

p(right-sided test) =\( Pr(N_1\geq n_1)\)

Zweiseitiger Test

Die zweiseitige Signifikanz ist

\[p_2 = p_1 + p_3\]

wobei

\(p_{1}= Pr(N_1\leq n_1)\), wenn \(n_{1}\leq (n_{1}+n_{2})(n_{1}+n_{3})/N\)

\(p_{1}= Pr(N_1\geq n_1)\), wenn \(n_{1}>(n_{1}+n_{2})(n_{1}+n_{3})/N\)

\[p_3 = \sum_{x:\text{ between }\min(n_1+n_2,n_1+n_3) \text{ and } (n_1+1); Pr(N_1=x) \leq Pr(N_1=n_1)} Pr(N_1=x)\]

Assoziationsmaße

Definieren

\[D_r = N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_i^2\]

\[D_c = N^2 - \sum_{j=1}^{C}c_j^2\]

\[C_{ij} = \sum_{h<i}\sum_{k<j}f_{hk}+\sum_{h>i}\sum_{k>j}f_{hk}\]

\[D_{ij} = \sum_{h<i}\sum_{k>j}f_{hk}+\sum_{h>i}\sum_{k<j}f_{hk}\]

\[P = \sum_{ij}f_{ij}C_{ij}\]

\[Q = \sum_{ij}f_{ij}D_{ij}\]

\(r_i = \sum_{j=1}^{C}f_{ij}\) ist die Teilsumme der \(i\)ten Zeile

\(c_j = \sum_{i=1}^{R}f_{ij}\) ist die Teilsumme der \(j\)ten Spalte

\(N = \sum_{j=1}^{C}c_j = \sum_{i=1}^{R}r_i\) ist die Gesamtanzahl.

Statistik		Formel und Erklärung	Standardfehler
Phi-Koeffizient		\(\phi = \sqrt{\chi_p^2/N}\), das nicht für 2 x 2-Tabellen berechnet wird. Für eine 2 x 2-Tabelle ist er gleich \(r\) Der Wert reicht von \([0,M]\), wobei \(M = min(\sqrt{R-1},\sqrt{C-1})\),
Cramérs V		\[V = \sqrt{\frac{\chi_p^2}{N\min\{R,C\}}}\]
Kontingenzkoeffizient		\[CC = \sqrt{\frac{\chi_p^2}{\chi_p^2+N}}\]
Gamma		\[\gamma = \frac{P-Q}{P+Q}\]	\[\frac{2}{P+Q}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}\]
Kendall	Tau-b	\[\tau_b = \frac{P-Q}{\sqrt{D_rD_c}}\]	\[2\sqrt{\frac{1}{D_rD_c}\left[\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2\right]}\]
	Tau-c	\(\tau_c = \frac{(P-Q)q}{N^2(q-1)}\), wobei \(q = \min\{R,C\}\)	\[\frac{2q}{N^2(q-1)}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}\]
Somers D	C\(|\)R	\[d_{C|R} = \frac{P-Q}{D_r}\]	\[\frac{2}{D_r}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}\]
	R\(|\)C	\[d_{R|C} = \frac{P-Q}{D_c}\]	\[\frac{2}{D_c}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}\]
	Symmetrisch	\[d = 2\frac{P-Q}{D_c+D_r}\]	\[\frac{4}{D_c+D_r}\sqrt{\sum_{ij}f_{ij}(C_{ij}-D_{ij})^2-\frac{1}{N}(P-Q)^2}\]
Lambda	C\(|\)R	\(\lambda_{C|R} = \frac{1}{N-c_m}\left(\sum_{i=1}^{R}f_{im}-c_m\right)\), wobei \(f_{im}\) die größte Anzahl in der i-ten Zeile ist und \(c_m\) die größte Spaltenteilsumme.	\(\sqrt{ \frac{ N - \displaystyle\sum_{i=1}^{R} f_{im} }{ (N-c_m)^3 } \left(\sum_{i=1}^{R} f_{im} + c_m -2\sum_{i=1}^{R} (f_{im}|l_i=l) \right) }\), wobei \(l_i\) der Spaltenindex von \(f_{im}\) ist und \(l\) der Index der Spaltenteilsumme für \(c_m\).
	R\(|\)C	\(\lambda_{R|C} = \frac{1}{N-r_m}\left(\sum_{j=1}^{C}f_{mj}-r_m\right)\), wobei \(f_{mj}\) die größte Anzahl in der j-ten Spalte ist und \(r_m\) die größte Zeilenteilsumme.	\(\sqrt{ \frac{ N - \displaystyle\sum_{j=1}^{C} f_{mj} }{ (N-r_m)^3 } \left(\sum_{j=1}^{C} f_{mj} + r_m -2\sum_{j=1}^{C} (f_{mj}|k_j=k) \right) }\), wobei \(k_j\) der Zeilenindex von \(f_{mj}\) ist und \(k\) der Index der Zeilenteilsumme für \(r_m\).
	Symmetrisch	\[\lambda = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^{R}f_{im} + \sum_{j=1}^{C}f_{mj} - c_m - r_m }{2N-r_m-c_m}\]	\(\frac{1}{w^2} \sqrt{ wvy - 2w^2\left( N-\sum_{i=1}^{R} (f_{im}|i=k_{l_i}) \right) - 2v^2(N-f_{kl}) }\) wobei \(w=2N-r_m-c_m\), \(v = 2N - \sum_{i=1}^{R}f_{im} - \sum_{j=1}^{C}f_{mj}\), \(x = \sum_{i=1}^R (f_{im}|l_i=l) + \sum_{j=1}^C (f_{mj}|k_j=k) + f_{km} + f_{ml}\) und \(y = 8N - w - v - 2x\).
Unsicherheit	C\(|\)R	\(U_{R|C} = \frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(Y)}\), wobei \(U(X) = -\sum_{i=1}^{R}\frac{r_i}{N}\ln\frac{r_i}{N}\) und \(U(Y) = -\sum_{j=1}^{C}\frac{c_j}{N}\ln\frac{c_j}{N}\) und \(U(XY) = -\sum_{ij}\frac{f_{ij}}{N}\ln\frac{f_{ij}}{N}\)	\(\frac{1}{NU(Y)}\sqrt{P-N\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}\), wobei \(P = \sum_{ij}f_{ij}\ln\left(\frac{r_ic_j}{f_{ij}N}\right)^2\)
	R\(|\)C	\[U_{C|R} = \frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(X)}\]	\[\frac{1}{NU(X)}\sqrt{P-N\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}\]
	Symmetrisch	\[U = 2\frac{U(X)+U(Y)-U(XY)}{U(X)+U(Y)}\]	\[\frac{2}{N(U(X)+U(Y))}\sqrt{P-\frac{1}{N}\left(U(X)+U(Y)-U(XY)\right)^2}\]

Übereinstimmungsmaße

Diese Tabelle wird nur berechnet, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: (1) quadratische Tabelle, d.h. \(R=C\), und (2) die Zeilenvariable und die Spaltenvariable die gleichen Werte haben.

Die Kappa-Statistik wird berechnet mit:

\[ \kappa = \frac{N\sum_{i=1}^{R}f_{ii} - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i}{N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i}\]

Der Standardfehler wird geschätzt mit:

\(SE_1 = \frac{1}{1-p_e} \sqrt{ \frac{A+B-C}{N} }\).

wobei \(p_e = \frac{ \sum_{i=1}^R r_i c_i }{ N^2 }\), \( A = \sum_{i=1}^R \frac{f_{ii}}{N} \left( 1-\frac{(r_i+c_i)(1- \kappa)}{N} \right)^2\),
\(B = (1-\kappa)^2 \sum_{i=1}^R \sum_{j=1, j \ne i}^{C} \frac{f_{ij} (r_i+c_j)^2}{N^3}\) und \(C = \Bigl( \kappa - p_e( 1-\kappa ) \Bigr)^2\).

Der entsprechende asymptotische Standardfehler unter der Nullhypothese \(\kappa = 0\) ist gegeben mit

\[SE_0 = \sqrt{\frac{1}{N\left(N^2 - \sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2} \left[N^2\sum_{i=1}^{R}r_ic_i + \left(\sum_{i=1}^{R}r_ic_i\right)^2 - N \sum_{i=1}^{R}r_ic_i(r_i+c_i)\right]}\]

Eine weitere verwandte Statistik ist Bowker, die verwendet wird, um \(H_0: p_{ij} = p_{ji}\) für alle Paare zu testen. Wenn \(R>2\), wird die Statistik berechnet als

\[Bo = \sum_{i=1}^R \sum_{j=1}^{j<i}\frac{(f_{ij}-f_{ji})^2}{f_{ij}+f_{ji}}\]

Für größere Samples ist \(Bo\) die asymptotische Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Freiheitsgrad \(0.5R(R-1)\).

Beachten Sie, dass Bowkers Test für 2 x 2-Tabellen gleich McNemars Test ist. Daher wird hier nur Bowkers Test gezeigt.

Quotenverhältnis und Relatives Risiko

Diese Statistik wird nur für 2 x 2-Tabellen berechnet.

Quotenverhältnis

Das Quotenverhältnis wird berechnet mit

\[OR = \frac{f_{11}f_{22}}{f_{12}f_{21}}\]

Relatives Risiko

Die relativen Risiken sind gegeben mit

\[P(Y_1|X_1)/P(Y_1|X_2) = \frac{f_{11}(f_{21}+f_{22})}{f_{21}(f_{11}+f_{12})}\]

\[P(Y_1|X_2)/P(Y_1|X_1) = \frac{f_{21}(f_{11}+f_{12})}{f_{11}(f_{21}+f_{22})}\]

\[P(Y_2|X_1)/P(Y_2|X_2) = \frac{f_{12}(f_{21}+f_{22})}{f_{22}(f_{12}+f_{11})}\]

\[P(Y_2|X_2)/P(Y_2|X_1) = \frac{f_{22}(f_{12}+f_{11})}{f_{12}(f_{21}+f_{22})}\]

Cochran-Mantel-Haenszel

Definieren

\(K\) ist die Anzahl der Layer

\(f_{ijk}\) ist die Häufigkeit in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und im k-ten Layer

\(c_{jk} = \sum_{i=1}^{R} f_{ijk}\) ist die j-te Spalte, Teilsumme des k-ten Layers

\(r_{ik} = \sum_{j=1}^{C} f_{ijk}\) ist die i-te Zeile, Teilsumme des k-ten Layers

\(n_{k} = \sum_{i=1}^{R}\sum_{j=1}^{C} f_{ijk}\) ist die Teilsumme des k-ten Layers

\(E_{ijk} = \frac{r_{ik}c_{jk}}{n_k}\) ist die erwartete Häufigkeit in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und im k-ten Layerzelle

\[\hat{p}_{ik} = \frac{f_{i1k}}{r_{ik}}, d_k = \hat{p}_{1k} - \hat{p}_{2k}, \hat{p}_{k} = \frac{c_{1k}}{n_{k}}\]

Mantel-Haenszel-Statistik

Die Mantel-Haenszel-Statistik ist gegeben mit

\[MH = \left(\sum_{k=1}^{K}\frac{r_{1k}r_{2k}}{n_k-1} \hat{p}_{k}(1-\hat{p}_{k}) \right)^{-1/2}\left(\big|\sum_{k=1}^{K} (f_{11k}-E_{11k})\big|-0.5\right)sgn\left(\sum_{k=1}^{K} (f_{11k}-E_{11k})\right)\]

wobei sgn die Vorzeichenfunktion \(sgn(x) = I(x>0)-I(x<0)+0*I(x=0)\) ist.

Breslow-Day-Statistik

Die Breslow-Day-Statistik ist

\[BD = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2\]

wobei \(V_k = \frac{1}{\hat{f}_{11k}}+\frac{1}{\hat{f}_{12k}}+\frac{1}{\hat{f}_{21k}}+\frac{1}{\hat{f}_{22k}}\).

Tarones Statistik

Tarones Statistik ist

\[T = \sum_{k=1}^{K} V_k \left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2- \frac{\sum_{k=1}^{K}\left[f_{11k}-\hat{f}_{11k}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K}\frac {1}{V_k} }\]

wobei \(V_k = \frac{1}{\hat{f}_{11k}}+\frac{1}{\hat{f}_{12k}}+\frac{1}{\hat{f}_{21k}}+\frac{1}{\hat{f}_{22k}}\).

Allgemeines Quotenverhältnis

Für eine 2×2×K-Tabelle ist das Quotenverhältnis beim k-ten Layer \(OR_{k}\). Angenommen, dass das wahre allgemeine Quotenverhältnis existiert, das \(OR_{1}=OR_{2}=...OR_{K}\) lautet, dann ist Mantel-Haenszels Schätzer des allgemeinen Quotenverhältnisses

\[\hat OR_{MH}=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}}{\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}\]

Die asymptotische Varianz für \(ln(\hat OR_{MH})\) ist:

\[\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{11k}+f_{22k})f_{12k} f_{21k}+(f_{12k}+f_{21k})f_{11k} f_{22k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{11k} f_{22k}}{n_{k}}\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}+\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{(f_{12k}+f_{21k})f_{12k} f_{21k}}{n_{k}^2}}{2\sum_{k=1}^{K}\frac{f_{12k} f_{21k}}{n_{k}}}\]

Die untere Konfidenzgrenze (UEG) und obere Konfidenzgrenze (OEG) für \(ln(\hat OR_{MH})\) sind:

\(ln(\hat OR_{MH})-z({alpha}/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}\) und \(ln(\hat OR_{MH})+z(alpha/2)\sqrt{\hat Var[ln(\hat OR_{MH})]}\)