アルゴリズム（2群の比率の検定）
サンプル1の大きさを/math-2fccdd06e4c2b79e4f65f2f532fdf9ec.png "n_{1}\!")
、イベントまたは成功の数を/math-fdad14c036fde9f986da06150b87a44c.png "x_{1}\!")
とすると、サンプルの比率/math-2b49ceafb7c17ba633238ebd9932468b.png "\tilde{p_{1}}\!")
は以下のように計算されます。/math-a31d5b1c9315097b39138038b35a733d.png "\tilde{p_{1}}=\frac{x_{1}}{n_{1}}")
同様に、異なるサンプルでは、サンプルサイズは/math-524b3b5be113e2ddfb80c81946f7acd9.png "n_{2}\!")
で、イベントの数を/math-32846ccc5f26d802a0fe5ea9bbe7f00d.png "x_{2}\!")
とすると、サンプルの比率は/math-bdf797b2281b2325c6b84e5fbbdd0419.png "\tilde{p_{2}}=\frac{x_{2}}{n_{2}}")
仮説
/math-7b808e5178ceb5dc7d7cd3055dd492db.png "p_{1}\!")
及びは、サンプル1と2の真の母比率とし、/math-bd9eee3ffcc47aa2c4ff7032d9e24ee9.png "d_{0}\!")
は母比率と仮説の差とします。
/math-c607e29efc94ad70d2c3c422748aaaff.png "H_0:p_{1}-p_{2}=d_{0}\!")
両側検定
/math-b34f0ce1b16f76275e5ca5bb2095309a.png "H_0:p_{1}-p_{2}\ge d_{0}\!")
片側検定
/math-eff4b11b5021a77c9b957a60ef7d7839.png "H_0:p_{1}-p_{2}\le d_{0}\!")
片側検定
正規近似
P値
仮説：/math-1ac2183e2b27a97935f0ce1eac821c81.png "x_{1}\ge10\!")
および /math-7e77cc4bc8f9de81bd613971cca6bdbe.png "n_{1}-x_{1}\ge10\!")
、/math-7db56eb2a970f6af0b5d2a8ec332adf9.png "x_{2}\ge10\!")
および /math-9c47106b3141ec18de2b358627ea9010.png "n_{2}-x_{2}\ge10\!")
により、正規近似検定を実行できます。
検定を行うために、/math-814b9f64b478b6caf94e723a0e6814c5.png "z\!")
と /math-c619dfb3f0ada810733c791d3e461ade.png "p_{value}\!")
の値を計算します。
/math-a83acc8877291a1769abf9c63cac0c06.png "z=\frac{\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}} -d_{0}}{\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}}+\frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}
\!")
.
/math-2a3499732983c7813c587075c92c0990.png "d_{0}")
が0になるような特殊な場合、Originでは、ダイアログで「検定にプールされたP値を使用」をチェックすることで、pを込みにした推定を使用できます。
/math-c8de0be6d90bda1b287888d08b796b4e.png "z=\frac{\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}}}{\sqrt{\tilde{p_{0}}(1-\tilde{p_{0}})({\frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}}})}\!")
、ここで/math-581efaf63802fe89785cddcf19e96cb4.png "p_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}")
各仮説で、p値は以下のように与えられます。
、/math-29f7013ed3172dc36f431f0b8482b50b.png "p_{value}=2P(Z_{1}\ge|z|)\!")
、 両側検定
、/math-10a0f892ce645224d3e01a17f2e69302.png "p_{value}=P(Z_{1}\le z)\!")
、 上側検定
、/math-3bf80569261b1154f5d7acdf9d0f6cad.png "p_{value}=P(Z_{1}\ge z)\!")
、 下側検定
信頼区間
与えられた信頼度 /math-378df00d12056b404d7d02aef9d8650b.png "1-\alpha")
について、サンプルの比率における信頼区間は以下のようにして与えられます。
| 帰無仮説 | 信頼区間 |
|---|---|
|
|
![\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]](/origin-help/ja/images/Algorithm_(Two_sample_proportion_test)/math-ea62046992830b5407422a0bc50eb5e4.png "\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]")
|
|
|
![\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, 1\right]](/origin-help/ja/images/Algorithm_(Two_sample_proportion_test)/math-25f19502677d1d4ee361f6bceae2271a.png "\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, 1\right]")
|
|
|
![\left[-1, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]](/origin-help/ja/images/Algorithm_(Two_sample_proportion_test)/math-912083364694e7cf293a0a2b314d5ba2.png "\left[-1, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]")
|
フィッシャーの正確確率検定
正確なP値
フィッシャーの正確確率検定は、/math-a6b4ba4f8e6e0c7aa62a6321e42f50c5.png "d_{0} \!")
が0であるときにすべてのサンプルサイズのために使用されます。
X= xのとき、超幾何分布の確率p（x）を表してみましょう。
/math-87ee7c011ddd771e42be5b24401b7b38.png "P(X=x)=\frac{\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2} \\{x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{n_{1}+n_{2}-x_{1}-x_{2}}\\{n_{1}-x}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{n_{1}+n_{2}}\\{n_{1}}\end{pmatrix}}")
Mを超幾何分布モードで表します。/math-a5c2eef81958cd52e29970d65dd26510.png "M=\left \lfloor \frac{(n_1+1)(x_1+x_2+1)}{n_1+n_2+2}\right \rfloor")
各仮説で、p値は以下のように与えられます。
/math-e8e42b6377357ab28f8d67401a32dcbb.png "H_0:p_{1}\ge p_{2}\!")
, /math-ac0d5ea358618a9ad75aa424e562381e.png "p_{value}=P(x\le x_{1})\!")
/math-2d65f2eb45f1ed6987af501d89e0c698.png "H_0:p_{1}\le p_{2}\!")
, /math-11412e997c86e471799bb7527f8951e5.png "p_{value}=P(x\ge x_{1})\!")
/math-9bc36a86a3c356596eaded763aafa716.png "H_0:p_{1}= p_{2}\!")
のとき
/math-4291cab60dfd9a45d2b2e27ca563fd02.png "a:x_{1} < M\!")
:
/math-1de87365a19dd27513e6b7373b9522d3.png "p_{value} = P(X\le x_{1}) + P(X\ge y)")
ここでyは、/math-a204b7185fc011518c001fd57d7c9a32.png "p(y) \le p(x_1)\!")
のような最小の整数/math-8fcaeb2e7c7c9d85baf692b14f25bba1.png "\ge M")
です。
/math-60a92aacb57e6b5495c9d18453da11c8.png "b:x_{1} = M\!")
/math-76be9e9d8c2c9e081f9a0a4f75723372.png "p_{value} = 1.0\!")
/math-1cc2cb9480b59d99e1d6d338f9348f95.png "c: x_1 > M\!")
/math-242d0497051cf5e0c14dc7013dbeb161.png "p_{value} = P(X\ge x_{1}) + P(X\le y)")
ここでyは、のような最大の整数/math-cdc6f4e3821a03f2e3d5bff6b42afc7d.png "\le M")
です。