Algorithmen (Test von Anteilen bei zwei Stichproben)
\(n_{1}\!\) sei der Umfang von Stichprobe 1 und \(x_{1}\!\) die Anzahl der Ereignisse bzw. Erfolge. Dann kann der Stichprobenanteil \(\tilde{p_{1}}\!\) ausgedrückt werden mit: \(\tilde{p_{1}}=\frac{x_{1}}{n_{1}}\).
Entsprechend ist der Umfang für eine andere Stichprobe \(n_{2}\!\) und \(x_{2}\!\) ist die Anzahl der Ereignisse. Dann ist der Stichprobenanteil: \(\tilde{p_{2}}=\frac{x_{2}}{n_{2}}\)
Inhalt |
Hypothesen
\(p_{1}\!\) und \(p_{1}\!\) seien die wahren Anteile der Grundgesamtheit für Stichprobe 1 und 2, und \(d_{0}\!\) sei die hypothetische Differenz zwischen den Anteilen der Grundgesamtheit.
\(H_0:p_{1}-p_{2}=d_{0}\!\) für beidseitigen Test
\(H_0:p_{1}-p_{2}\ge d_{0}\!\) für einseitigen Test
\(H_0:p_{1}-p_{2}\le d_{0}\!\) für einseitigen Test
Normal-Approximation
p-Wert
Sie können einen Test auf Normal-Approximation durchführen mit den Annahmen: \(x_{1}\ge10\!\) und \(n_{1}-x_{1}\ge10\!\), \(x_{2}\ge10\!\) und \(n_{2}-x_{2}\ge10\!\).
Um den Test durchzuführen, berechnen Sie den Wert für \(z\!\) und \( p_{value}\!\):
\(z=\frac{\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}} -d_{0}}{\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}}+\frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}} \!\) .
Ein besonderer Fall ist, wenn \(d_{0} \) gleich Null ist. Origin kann eine gepoolte Schätzung von p für den Test verwenden, wenn Sie das Kontrollkästchen "gepoolt" aktivieren, um Folgendes zu tun:
\(z=\frac{\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}}}{\sqrt{\tilde{p_{0}}(1-\tilde{p_{0}})({\frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}}})}\!\) , wobei\(p_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}\)
Die p-Werte für jede Hypothese sind gegeben durch:
\(H_0:p_{1}-p_{2}=d_{0}\!\) , \(p_{value}=2P(Z_{1}\ge|z|)\!\) für den beidseitigen Test
\(H_0:p_{1}-p_{2}\ge d_{0}\!\), \(p_{value}=P(Z_{1}\le z)\!\) für den oberen Test
\(H_0:p_{1}-p_{2}\le d_{0}\!\) , \(p_{value}=P(Z_{1}\ge z)\!\) für den unteren Test
Konfidenzintervall
Für ein gegebenes Konfidenzniveau \(1-\alpha\) kann das Konfidenzintervall für den Stichprobenanteil erzeugt werden durch:
| Nullhypothese | Konfidenzintervall |
|---|---|
| \[H_0:p_{1}-p_{2}=d_{0}\!\] | \[\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]\] |
| \[H_0:p_{1}-p_{2}\ge d_{0}\!\] | \[\left[(\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})- Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}, 1\right]\] |
| \[H_0:p_{1}-p_{2}\le d_{0}\!\] | \[\left[-1, (\tilde{p_{1}}-\tilde{p_{2}})+ Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\tilde{p_{1}}(1-\tilde{p_{1}})}{n_{1}}+ \frac{\tilde{p_{2}}(1-\tilde{p_{2}})}{n_{2}}}\right]\] |
Fishers Exakter Test
Exakter p-Wert
Fishers Exakter Test kann für alle Stichprobenumfänge verwendet werden, wenn \(d_{0} \!\) null ist. p(x) bezeichne die Wahrscheinlichkeit der hypergeometrischen Verteilung, wenn X=x.
\[P(X=x)=\frac{\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2} \\{x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{n_{1}+n_{2}-x_{1}-x_{2}}\\{n_{1}-x}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{n_{1}+n_{2}}\\{n_{1}}\end{pmatrix}}\]
M bezeichne den Modus der hypergeometrischen Verteilung: \(M=\left \lfloor \frac{(n_1+1)(x_1+x_2+1)}{n_1+n_2+2}\right \rfloor\)
Die p-Werte für jede Hypothese sind gegeben durch:
\(H_0:p_{1}\ge p_{2}\!\), \(p_{value}=P(x\le x_{1})\!\)
\(H_0:p_{1}\le p_{2}\!\), \(p_{value}=P(x\ge x_{1})\!\)
Wenn \(H_0:p_{1}= p_{2}\!\):
\(a:x_{1} < M\!\): \(p_{value} = P(X\le x_{1}) + P(X\ge y)\)
wobei y die kleinste ganze Zahl \(\ge M\) ist, so dass \(p(y) \le p(x_1)\!\).
\[b:x_{1} = M\!\]
\[p_{value} = 1.0\!\]
\[c: x_1 > M\!\]
\[p_{value} = P(X\ge x_{1}) + P(X\le y)\]
wobei y die größte ganze Zahl \(\le M\) ist, so dass \(p(y) \le p(x_1)\!\).