Algorithmus zur Messsystemanalyse

Messsystemanalyse Typ 1

Grundlagen der Statistik

• Mittelwert

  \[\bar{X} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i\]

• Std.Abw.

  \[S = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2}\]

• Streuung in der Untersuchung (SV)

  \(SV = k_1 * S\), wobei \(k_1\) die Zahl der Standardabweichung ist, die im Dialog festgelegt ist. Der Standardwert ist 6.

• Toleranz

  Toleranz = OSG – USG, die im Dialog festgelegt sind

•  % der Toleranz: Es wird berechnet, ob die (im Dialog festgelegte) Messauflösung kleiner als (gut), größer als (schlecht) oder gleich 5 % der Toleranz ist.

Systematische Messabweichung (Bias)

• Systematische Messabweichung (Bias)

  \(\bar{X} - X_m\), wobei \(X_m\) der Referenzmittelwert ist, der im Dialog festgelegt ist.

• T

  t-Statistik zum Prüfen von Nullhypothese \(bias = 0\) vs. Alternativhypothese \(bias \neq 0\):

  \[t = \frac{\sqrt{N}|\bar{X} - X_m|}{S}\]

Fähigkeit

• Cg

  Die Fähigkeit des Messgeräts: \(C_g = \frac{K/100*Tolerance}{SV}\), wobei \(K\) die Prozent der Toleranz zum Berechen von \(C_g\) sind, wie im Dialog festgelegt.

  Hinweis: Der Standardwert von \(K\) ist auf 20 gesetzt; dies ist ein zulässiger, durch Messstreuung bedingter Toleranzprozentsatz. Der Wert wurde vom Verband der Automobilindustrie (German Association of the Automotive Industry) vorgeschlagen.

• Cgk

  Die Fähigkeit des Messgeräts, wobei sowohl die Messgerätestreuung als auch die systematische Messabweichung betrachtet werden: \(C_{gk} = \frac{(K/200*Tolerance) - |\bar{X} - X_m|}{SV/2}\)

•  %Var (Repeatability)

  Vergleich der Messgerätewiederholbarkeit mit der Toleranz: \(\frac{SV}{Tolerance}*100\)

•  %Var (Repeatability and Bias)

  Vergleich der Wiederholbarkeit und systematische Messabweichung des Messgeräts mit der Toleranz: \(\frac{(K*SV)/2}{(K/200*Tolerance) - |\bar{X} - X_m|}\)

Analyse von Linearität und systematischer Messabweichung

Verwenden Sie die Bias versus den Referenzwert, um die Streuung in den Bias-Werten \(x_{ij}-ref_i\) für jedes Teil zu beobachten. Führen Sie anschließend eine lineare Regression auf das Diagramm Bias versus Reference Value (systematische Messabweichung versus Referenzwert) durch, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu schätzen.

Linearität des Messgeräts

• S

  \(S\) schätzt die Standardabweichung um die Regressionslinie. \(S = sqrt(RSS/df)\), wobei \(RSS\) die Summe der Quadrate der Residuen und \(Freiheitsgrade\) der Freiheitsgrad der Fehlerterme der linearen Regression ist.

• Linearität

  Die Linearität gibt an, ob das Messgerät bei den zu messenden Objekten aller Größen eine gleichbleibende Genauigkeit aufweist.

  \(Linearity = |slope| * PV\), wobei \(PV\) \(Process\;Variation\) ist, was 6 * die Prozessstandardabweichung darstellt und im Dialog angegeben wird, falls der Benutzer den Wert hat.

•  %Linearity

   %Linearity stellt die Linearität als einen Prozentsatz der Prozessstreuung dar.

  \[\% Linearity = \frac{Linearity}{PV}*100\]

Systematische Messabweichung des Messgeräts

• Bias

  Unter Bias, das heißt die systematische Messabweichung, wird die Abweichung zwischen dem Referenzwert des Teils und den vom Bediener durchgeführten Messungen verstanden.

  \[Average\;Bias = \frac{\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{N_i}(x_{ij}-ref_i)}{\sum_{i=1}^{r}N_i}\]

  wobei \(x_{ij}\) die \(j^{th}\) Messung des \(i^{th}\) Teils, \(ref_i\) der Referenzwert des \(i^{th}\) Teils, \(N_i\) die Anzahl der Replikationen des \(i^{th}\) Teils und \(r\) die Anzahl der Teile ist.

•  %Bias

   %Bias stellt die systematische Messabweichung als einen Prozentsatz der Prozessstreuung dar.

  \[\% Bias= \frac{|Average\;Bias|}{PV}*100\]

Methoden zum Schätzen der Standardabweichung der Wiederholbarkeit

• Verwenden Sie die p-Werte, um zu testen, ob die systematische Messabweichung bei jedem Referenzwert 0 ist und ob die mittlere systematische Messabweichung 0 ist.
• Methode Spannweite der Stichprobe

Falls jeder Referenzwert einen eindeutigen Teil entspricht, \(s = \frac{max(X_i) - min(X_i)}{d_2}\).

Falls mehr als ein Teil (\(i\)) den gleichen Referenzwert hat, \(s = \frac{\bar{R}}{d_2}\).

• \(\bar{R}\) ist die durchschnittliche Spannweite der systematischen Messabweichung von jedem Teil.
• \(d_2 = d_2^*[m_i, i]\), wobei \(d_2^*\) eine Referenztabelle in Appendix C von AIAG MSA-4 [1] ist. \(m_i\) ist die Teilgruppengröße.

Die t-Statistik zum Prüfen der systematischen Messabweichung ist \(\frac{(average\;bias\;at\;a\;reference\;value)}{\frac{s}{\sqrt{r}}}\), wobei \(r\) die Anzahl der Teile ist.

• Methode Standardabweichung der Stichprobe

Falls jeder Referenzwert einem eindeutigen Teil entspricht, \(s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2}\). Die t-Statistik zum Prüfen der systematischen Messabweichung ist \(\frac{(average\;bias\;at\;a\;reference\;value)}{\frac{s}{\sqrt{r}}}\).

Falls mehr als ein Teil den gleichen Referenzwert hat, \(s = \sqrt{\frac{(N_1-1)*S_1^2 + ...+ (N_r-1)*S_r^2}{(N_1-1)+ ...+ (N_r-1)}}\). Die t-Statistik zum Prüfen der systematischen Messabweichung ist \(\frac{(average\;bias\;at\;a\;reference\;value)}{{s}*{\sqrt{1/N_1 + ...+ 1/N_r}}}\).

Gekreuzte Messsystemanalyse

ANOVA-Tabelle

• Wenn Sie Operators und Parts eingeben (Bediener und Teile), werden die Daten mit einem balancierten zweifaktoriellen Versuchsplan analysiert. Beide Faktoren werden als zufällig betrachtet. Die Wechselwirkung Operator by Part ist zuerst im Modell enthalten:

  \[SS_{Total}=SS_{Rep eatability}+SS_{Part}+SS_{Operator}+SS_{Part*Operator} \,\!\]

• Falls der p-Wert für die Wechselwirkung größer ist als das Signifikanzniveau, wird der Wechselwirkungsterm ignoriert und die Daten dann mit einem reduzierten Modell, das nur Hauptterme enthält, angepasst.

  \(SS_{Total}=SS_{Rep eatability}+SS_{Part}+SS_{Operator} \,\!\),

  wobei

  \[SS_{Total}=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(y_{ijk}-\bar y)^2\]

  \[SS_{Part}=st\sum_{i=1}^r(\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y)^2\]

  \[SS_{Operator}=rt\sum_{j=1}^s(\bar y_{\cdot j\cdot}-\bar y)^2\]

  \[SS_{Part*Operator}=t\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s(\bar y_{ij\cdot}-\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y_{\cdot j\cdot}+\bar y)^2\]

• Wenn der Wechselwirkungsterm im ANOVA-Modell enthalten ist:

  \[SS_{Rep eatability} = SS_{Total} - SS_{Part} - SS_{Operator} - SS_{Part*Operator}\]

• Wenn der Wechselwirkungsterm nicht im ANOVA-Modell enthalten ist:

  \[SS_{Rep eatability} = SS_{Total} - SS_{Part} - SS_{Operator}\]

  \(SS_{Total}\) Ist die Gesamtsumme der Quadrate, \(SS_{Part}\) stellt die Variabilität der mittleren Differenzen aus dem Faktor Part dar, \(SS_{Operator}\) stellt die Variabilität der mittleren Differenzen aus dem Faktor Operator dar, \(SS_{Part*Operator}\) stellt die Variabilität der Wechselwirkung dar und \(SS_{Rep eatability}\) stellt die Variabilität von allen Einzelstichproben dar. \(r\) stellt die Anzahl der Teile dar. \(s\) stellt die Anzahl der Bediener dar. \(t\) stellt die Anzahl der Replikationen dar.

• Tabelle der zweifachen ANOVA mit Wechselwirkung:

Quelle der Variation	Freiheitsgrade (DF)	Summe der Quadrate (SS)	Mittel der Quadrate (MS)	F-Wert	Wahrsch. > F
Teil	r - 1	\[SS_{Part}\]	\[MS_{Part}\]	\[\frac{MS_{Part}}{MS_{Part*Operator}}\]	\[P\{F\geq F_{(r-1,(r-1)(s-1),\alpha )}\}\]
Operator	s - 1	\[SS_{Operator}\]	\[MS_{Operator}\]	\[\frac{MS_{Operator}}{MS_{Part*Operator}}\]	\[P\{F\geq F_{(s-1,(r-1)(s-1),\alpha )}\}\]
Teil*Bediener	(r- 1) (s - 1)	\[SS_{Part*Operator}\]	\[MS_{Part*Operator}\]	\[\frac{MS_{Part*Operator}}{MS_{Rep eatability}}\]	\[P\{F\geq F_{((r-1)(s-1),rs(t-1),\alpha )}\}\]
Wiederholbarkeit	rs (t - 1)	\[SS_{Rep eatability}\]	\[MS_{Rep eatability}\]
Gesamt	rst - 1	\[SS_{Total}\]

• Tabelle der zweifachen ANOVA ohne Wechselwirkung:

Quelle der Variation	Freiheitsgrade (DF)	Summe der Quadrate (SS)	Mittel der Quadrate (MS)	F-Wert	Wahrsch. > F
Teil	r - 1	\[SS_{Part}\]	\[MS_{Part}\]	\[\frac{MS_{Part}}{MS_{Rep eatability}}\]	\[P\{F\geq F_{(r-1,rst - r - s + 1,\alpha )}\}\]
Operator	s - 1	\[SS_{Operator}\]	\[MS_{Operator}\]	\[\frac{MS_{Operator}}{MS_{Rep eatability}}\]	\[P\{F\geq F_{(s-1,rst - r - s + 1,\alpha )}\}\]
Wiederholbarkeit	rst - r - s + 1	\[SS_{Rep eatability}\]	\[MS_{Rep eatability}\]
Gesamt	rst - 1	\[SS_{Total}\]

Anzahl der eindeutigen Kategorien

• Die Anzahl der eindeutigen Kategorien (Number of Distinct Categories) stellt die Anzahl der Gruppen dar, die das Messsystem differenzieren kann.

  \[Number\;of\;distinct\;categories\;=\;\frac{Stddev\;for\;Parts}{Stddev\;for\;Gage}*1.41\]

Tabelle Gage R&R Table (Messsystemanalyse)

Varianz für ANOVA-Methode

Die Varianzkomponenten werden basierend auf der ANOVA-Tabelle berechnet. Der Wert wird als Null angegeben, falls er negativ ist.

• Mit Wechselwirkung:

  \[VARCOMP_{Rep eatability} = MS_{Rep eatability}\]

  \[VARCOMP_{Operator} = \frac{MS_{Operator} - MS_{Operator*Part}}{rt}\]

  \[VARCOMP_{Operator*Part} = \frac{MS_{Operator*Part} - MS_{Rep eatability}}{t}\]

  \[VARCOMP_{Part-to-Part} = \frac{MS_{Part} - MS_{Operator*Part}}{st}\]

  \[VARCOMP_{Reproducibility} = VARCOMP_{Operator} + VARCOMP_{Operator*Part}\]

  \[VARCOMP_{Total-Gage} = VARCOMP_{Rep eatability} + VARCOMP_{Reproducibility}\]

  \[VARCOMP_{Total-Variation} = VARCOMP_{Total-Gage} + VARCOMP_{Part-to-Part}\]

• Ohne Wechselwirkung:

  \[VARCOMP_{Rep eatability} = MS_{Rep eatability}\]

  \[VARCOMP_{Operator} = \frac{MS_{Operator} - MS_{Rep eatability}}{rt}\]

  \[VARCOMP_{Part-to-Part} = \frac{MS_{Part} - MS_{Rep eatability}}{st}\]

  \[VARCOMP_{Reproducibility} = VARCOMP_{Operator}\]

  \[VARCOMP_{Total-Gage} = VARCOMP_{Rep eatability} + VARCOMP_{Reproducibility}\]

  \[VARCOMP_{Total-Variation} = VARCOMP_{Total-Gage} + VARCOMP_{Part-to-Part}\]

Varianz für X-quer- und R-Methode

• Für die von jeder Quelle beigetragene Varianz wird die Standardabweichung berechnet mit:

  \[STDDEV_{Rep eatability} = (\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\frac{R_{ij}}{rs})\times \frac{1}{d_2}\]

  wobei \(R_{ij}\) die Spannweite der Messungen nach Bediener j für Teil i ist. \(d_2 = d_2^*[rs, t]\).

  \[STDDEV_{Reproducibility} = \sqrt{\biggr[\bar{X}_{diff}*\frac{1}{d_2}\biggr]^2 - \biggr[\frac{(STDDEV_{repe atability})^2}{rt}\biggr]}\]

  wobei \(\bar{X}_{diff} = max(\bar{X}_1, ..., \bar{X}_k) - min(\bar{X}_1, ..., \bar{X}_k)\), \(d_2 = d_2^*[1, s]\)

  \[STDDEV_{Part-to-Part} = R_p\frac{1}{d_2}\]

  wobei \(R_p\) der Bereich der Durchschnittswerte der Teile ist, \(d_2 = d_2^*[1, r]\)

  \[STDDEV_{Total-Gage} = \sqrt{(STDDEV_{Rep eatability})^2 + (STDDEV_{Reproducibility})^2}\]

  \[STDDEV_{Total-Variation} = \sqrt{(STDDEV_{Total-Gage})^2 + (STDDEV_{Part-to-Part})^2}\]

%Beitrag

\[\% Contribution = \frac{VARCOMP}{VARCOMP_{Total-Variation}}\]

StdAbw.

Falls die historische Standardabweichung \(\sigma\) festgelegt und größer als die Standardabweichung des Messgeräts ist \(\hat{\sigma}_{Gage}\), ist die Gesamtstandardabweichung \(\sigma\) und \(\hat{\sigma}_{Part} = \sqrt{\sigma^2 - \hat{\sigma}^2_{Gage}}\). Ansonsten wird die aus den Daten berechnete Gesamtstandardabweichung verwendet: \(StdDev = \sqrt{VarComp}\)

Study Var (Streuung in Unters.)

Die Streuung in Untersuchung wird als Standardabweichung für jede Streuungsquelle multipliziert mit 6 oder dem in Streuung in Untersuchung angegebenen Multiplikator berechnet \(Study\;Var\;=\;k\;*\;StdDev\).

%Study Var

\[\%StudyVar = \frac{Study\;Var}{Total\;Variation}*100\]

%Toleranz

\(\%Tolerance = \frac{Study\;Var}{Tolerance}*100\), wobei \(Toleranz\) vom Benutzer eingegeben ist.

%Prozess

\(\%Process = \frac{Study\;Var}{6 * (Historical\;Stddev)}*100\), wobei \(Historical\;Stddev\) vom Benutzer eingegeben ist.

Geschachtelte Messsystemanalyse

ANOVA-Tabelle

• Aufteilen der Streuung in Komponenten für die ANOVA-Tabelle:

  \[SS_{Total}=SS_{Rep eatability} + SS_{Operator}+SS_{Part(Operator)} \,\!\]

  wobei

  \[SS_{Total}=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(y_{ijk}-\bar y)^2\]

  \[SS_{Operator}=rt\sum_{j=1}^s(\bar y_{\cdot j\cdot}-\bar y)^2\]

  \[SS_{Part(Operator)}=t\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s(\bar y_{ij\cdot}-\bar y_{\cdot j\cdot})^2\]

  \[SS_{Rep eatability} = \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(y_{ijk}-\bar y_{ij\cdot})^2\]

\(SS_{Total}\) ist die Gesamtsumme der Quadrate, \(SS_{Operator}\) stellt die Variabilität der durchschnittlichen Differenzen von Faktor Operator dar, \(SS_{Part(Operator)}\) stellt die Variabilität der geschachtelten Faktoren dar und \(SS_{Rep eatability}\) stellt die Variabilität aller einzelnen Stichproben dar. \(r\) stellt die Anzahl der Teile dar. \(s\) stellt die Anzahl der Bediener dar. \(t\) stellt die Anzahl der Replikationen dar.

ANOVA-Tabelle mit dem geschachtelten Term:

Quelle der Variation	Freiheitsgrade (DF)	Summe der Quadrate (SS)	Mittel der Quadrate (MS)	F-Wert	Wahrsch. > F
Operator	s - 1	\[SS_{Operator}\]	\[MS_{Operator}\]	\[\frac{MS_{Operator}}{MS_{Part*Operator}}\]	\[P\{F\geq F_{(s-1,(r-1)(s-1),\alpha )}\}\]
Part(Operator)	(r- 1) s	\[SS_{Part(Operator)}\]	\[MS_{Part(Operator)}\]	\[\frac{MS_{Part(Operator)}}{MS_{Rep eatability}}\]	\[P\{F\geq F_{((r-1)s,rs(t-1),\alpha )}\}\]
Wiederholbarkeit	rs (t - 1)	\[SS_{Rep eatability}\]	\[MS_{Rep eatability}\]
Gesamt	rst - 1	\[SS_{Total}\]

Tabelle der Messsystemanalyse

• Die Varianzkomponenten werden basierend auf der ANOVA-Tabelle berechnet. Der Wert wird als Null angegeben, falls er negativ ist.

  \[VARCOMP_{Rep eatability} = MS_{Rep eatability}\]

  \[VARCOMP_{Reproducibility} = \frac{MS_{Operator} - MS_{Part(Operator)}}{rt}\]

  \[VARCOMP_{Part-to-Part} = \frac{MS_{Part(Operator)} - MS_{Rep eatability}}{t}\]

  \[VARCOMP_{Total-Gage} = VARCOMP_{Rep eatability} + VARCOMP_{Reproducibility}\]

  \[VARCOMP_{Total-Variation} = VARCOMP_{Total-Gage} + VARCOMP_{Part-to-Part}\]

Erweiterte Messsystemanalyse

Die App verwendet das Modell der allgemeinen linearen Regression, um die Messsystemanalyse mit drei ANOVA-Modelltypen durchzuführen: das Modell mit zufälligen Effekten, das Modell mit gemischten Effekten und das geschachtelte Modell. Standardmäßig wird das Modell mit den zufälligen Effekten verwendet. Das Modell mit gemischten Effekten wird verwendet, falls ein fester Faktor festgelegt ist. Der geschachtelte Term wird eingebunden, falls der geschachtelte Term festgelegt ist.

Das für die Messsystemanalyse verwendete Modell beinhaltet die Haupteffekte und die signifikanten Wechselwirkungen der höchsten Ordnung und die relevanten Wechselwirkungen zwischen ihnen. Die App verwendet das allgemeine lineare Modell, um die ANOVA-Tabelle zu erzeugen und die Varianzkomponenten der Faktoren und ihre Wechselwirkungen zu schätzen.

Varianzkomponenten für zufällige Effekte

• Aufteilen der Streuung in Komponenten für die ANOVA-Tabelle:

  \[VARCOMP_{Rep eatability} = MS_{Rep eatability}\]

  \[VARCOMP_{Reproducibility} = VARCOMP_{Operator}\;+\;VarComp\;of\;other\;factors\;and\;interactions\]

  \[VARCOMP_{Part-to-Part} = VARCOMP_{Part}\]

  \[VARCOMP_{Total-Gage} = VARCOMP_{Rep eatability} + VARCOMP_{Reproducibility}\]

  \[VARCOMP_{Total-Variation} = VARCOMP_{Total-Gage} + VARCOMP_{Part-to-Part}\]

Varianzkomponenten für feste Effekte

• Bei festen Termen wird geschätzt, dass die Variabilität über die verschiedenen Stufen des Terms hinweg die Varianzkomponenten darstellt. Nach Anpassen mit dem allgemeinen linearen Modell werden die angepassten Koeffizienten für die ersten \(J-1\) Stufen des Faktors berechnet. Der Koeffizient für die J-te Stufe ist \(Coef_J = –\sum_{j=1}^{J-1}coef_j\). Anschließend: \(VARCOMP = \sum{coef_j}^2\).

Messsystemanalyse für attributive Daten

Bias

• Bias

  \(limit + b/a\), wobei \(limit\) die vom Benutzer angegebene Toleranzgrenze ist. \(b\) und \(a\) sind der Schnittpunkt mit der Y-Achse und die Steigung von der angepassten Linie im Wahrscheinlichkeitsdiagramm.

• Voreingestellte Wiederholbarkeit

  \(X_t(P_a0.995)-X_t(P_a0.005)\), wobei \(X_t\) die geschätzten Referenzwerte bei Annahmewahrscheinlichkeiten von 0,995 und 0,005 auf der angepassten Linie sind.

• Wiederholbarkeit

  \[\frac{X_t(P_a0.995)-X_t(P_a0.005)}{1.08}\]

Test der Bias = 0

• AIAG-Methode

  T: \(\frac{6.078 \times |bias|}{\sigma_{Repea tability}}\)

wobei \(\sigma_{Repea tability}\) mit \({Repea tability} / 5.15\) geschätzt wird.

Die Konstante \(1,08\) und der Anpassungsfaktor (erwartungstreue Schätzung) \(6,078\) gelten speziell für einen Stichprobenumfang von 20 und wurden durch eine Simulation dieses Ansatzes mit einem Wiederholbarkeitsbereich von 99 % ermittelt. [1].

• DF: \(N - 1\), wobei \(N\) die Anzahl der Versuche ist.

• Regressionsmethode

  T: \(\frac{a + b \times LL}{s\sqrt{\frac{1}{K}+\frac{(LL - \bar{x})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}}}\), wobei \(LL\) die untere Toleranzgrenze ist, \(s\) die Standardabweichung des Feglers von der angepassten Linie ist, \(K\) die Anzahl der Teile ist, \(x_i\) der Referenzwert von jedem Teil ist, \(\bar{x}\) der Mittelwert der Referenzwerte ist.

  DF: \(N - 2\), wobei \(N\) die Anzahl der für die Anpassung verwendeten Punkte ist.

Referenz

1. "AIAG MSA-4:2010, Measurement Systems Analysis (MSA), 4. Auflage". Chrysler, Ford, General Motors Supplier Quality Requirements Task Force