管理図のアルゴリズム

特殊要因の検定

テスト1: 1点が中心線から3\(\sigma\)を超える
点（サブグループ）が中心線から3\(\sigma\)以上外れているかどうかを検定します。
テスト2: 連続する9点が中心線の片側にある
中心線の同じ側（すべて上またはすべて下）に連続する9つの点（サブグループ）があるかテストします。
テスト3: 連続する6点がすべて増加あるいはすべて減少
6つの連続した点（サブグループ）が厳密に単調であるかテストします。
テスト4: 連続する14点が交互に上下に変動
交互に上下に現れる連続した14個の点（サブグループ）があるか、つまり1つの点が前の点より大きく、次の点がこれより小さくなるかどうかを調べます。
テスト5: 3点のうち2点が中心線から2\(\sigma\)を超える（片側）
3つの連続するデータ点（またはサブグループ）のうち、2点以上が中心線から2\(\sigma\)以上離れているか、すべての点が中心線の同じ側（すべて上またはすべて下）にあるかをテストします。
テスト6: 5点のうち4点が中心線から1\(\sigma\)を超える（片側）
5つの連続するデータ点（またはサブグループ）のうち、4点以上が中心線から1\(\sigma\)以上離れているか、すべての点が中心線の同じ側（すべて上またはすべて下）にあるかテストします。
テスト7: 連続する15点が中心線から1\(\sigma\)内にある (両側)
15個の連続するデータ点（サブグループ）がすべて中心線から±1\(\sigma\)以内にあるか、中心線から全ての点の範囲が1\(\sigma\)未満かテストします。
テスト8: 連続する8点が中心線から1\(\sigma\)を超えてる (両側)
8点連続で中心線から1\(\sigma\)を超えているか、すべての点の中心線からの距離が1\(\sigma\)より大きいことをテストします。

変数管理図 - サブグループ

Xbar-R、Xbar-S、I-MR-R/S（間/内）、Xbar、R、S、およびゾーン管理図があります。

Xbar-R管理図

シグマ推定値：履歴値が指定されている場合は、この履歴値が使用され、それ以外の場合は、データから推定されます。
- Rbar: 式の詳細については、標準偏差の推定セクションのサブグループ範囲の平均(Rbar)を参照してください。
- プールされた標準偏差: 式の詳細については、標準偏差の推定セクションのプールされた標準偏差を参照してください。
Xbar管理図
- プロットされる点: 各サブグループの観測値の平均値。
  \[\bar{X_i}=\frac{\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}}{n_i}\]
  
  ここで、\(X_{ij}\)は\(i^{th}\)サブグループ内の\(j^{th}\)の観測値、\(n_i\)は\(i\)サブグループ内の観測値の数です。
- 中心線: プロセス平均を表し、指定されている場合は履歴値を使用します。指定されていない場合は、次のように計算されたデータの平均値を使用します。
  \(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^NX_i}{N}\), ここで \(N\) は全観測数です。
- 管理限界
  各サブグループ\(i\)で、下側管理限界(LCL)は\(LCL_i=\mu-\frac{k\sigma}{\sqrt{n_i}}\)で計算されます。
  
  各サブグループ\(i\)で、上側管理限界(UCL)は\(UCL_i=\mu+\frac{k\sigma}{\sqrt{n_i}}\)で計算されます。
  
  ここで、\(\mu\)はプロセス平均、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)はサブグループ\(i\)内の観察数です。
R管理図
- プロットされる点: 各サブグループの範囲。
  \[r_i=\max(Subgroup_i)-\min(Subgroup_i)\]
- 中心線
  \(\bar{R_i}=d_2(n_i)*\sigma\)、ここで、\(n_i\)はサブグループ\(i\)における観測値の数、\(d_2(\cdot)\)は無偏定数\(d_2()\)の値、\(\sigma\)はプロセス標準偏差です。
- 管理限界
  各サブグループ\(i\)で、下側管理限界(LCL)は\(LCL_i=\max(0, d_2(n_i)*\sigma-k*\sigma*d_3(n_i))\)で計算されます。
  
  各サブグループ\(i\)で、上側管理限界(UCL)は\(UCL_i=d_2(n_i)*\sigma+k*\sigma*d_3(n_i)\)で計算されます。
  
  ここで、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)はサブグループ\(i\)内の観測値の数、\(d_2(\cdot)\)は無偏定数\(d_2()\)の値、\(d_3(\cdot)\)は無偏定数\(d_3()\)の値です。

Xbar-S管理図

シグマ推定値：履歴値が指定されている場合は、この履歴値が使用され、それ以外の場合は、データから推定されます。
- Sbar: 式の詳細については、標準偏差の推定セクションのサブグループ標準偏差の平均(Sbar)を参照してください。
- プールされた標準偏差: 式の詳細については、標準偏差の推定セクションのプールされた標準偏差を参照してください。
Xbar管理図: 上記のXbar-R管理図セクションを参照してください。
S管理図
- プロットされる点: 各サブグループ\(s_i\)の標準偏差。
- 中心線
  無偏定数を使用しない: \(\bar{S_i}=\sigma\)
  
  無偏定数を使用：\(\bar{S_i}=c_4(n_i)*\sigma\)
  
  ここで、\(n_i\)はサブグループ\(i\)における観測値の数、\(c_4(\cdot)\)は無偏定数\(c_4()\)の値、\(\sigma\)はプロセス標準偏差です。
- 管理限界
  各サブグループ\(i\)で、下側管理限界(LCL)は以下のように計算されます。
  無偏定数を使用しない: \(LCL_i=\sigma-\frac{c_5(n_i)}{c_4(n_i)}k\sigma\)
  
  無偏定数を使用：\(LCL_i=c_4(n_i)\sigma-c_5(n_i)k\sigma\)
  
  各サブグループ\(i\)で、上側管理限界(UCL)は以下のように計算されます。
  無偏定数を使用しない: \(LCL_i=\sigma+\frac{c_5(n_i)}{c_4(n_i)}k\sigma\)
  
  無偏定数を使用：\(LCL_i=c_4(n_i)\sigma+c_5(n_i)k\sigma\)
  
  ここで、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)はサブグループ\(i\)内の観測値の数、\(c_4(\cdot)\)は無偏定数\(c_4(n_i)=\frac{\Gamma(\frac{n_i}{2})}{\Gamma(\frac{n_i-1}{2})}\sqrt{\frac{2}{n_i-1}}\)の値、\(c_5(\cdot)\)は無偏定数\(c_5(n_i)=\sqrt{1-c_4(n_i)^2}\)の値です。

I-MR-R/S (間/内)

シグマの推定: 詳細は標準偏差の推定を参照してください。また、標準偏差の履歴値が指定されている場合は、\(\sigma_{xbar}\)は次の式で計算されます。
\[\sigma_{xbar}=\sqrt{\sigma_{between}^2+\frac{\sigma_{within}^2}{SubgroupSize}}\]
I管理図
- プロットされる点: 各データポイントについて、各サブグループの平均値。
- 中心線: プロセスの平均 \(\mu\)履歴値が指定されている場合は、この履歴値を使用します。指定されていない場合は、データの平均を推定します。
- 管理限界
  下側制御限界(LCL)は\(LCL=\mu-k\sigma\)で計算されます。
  
  上側制御限界(UCL)は\(UCL=\mu+k\sigma\)で計算されます。
  
  ここで、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(\mu\)はプロセス平均です。
MRチャート
- プロットされる点: 各データ点について、サブグループの平均値の移動範囲(\(MR\))をプロット。
- 中心線: 移動範囲の無偏平均を推定します。
  \[CenterLine=MR*d_2(w)\]
  
  ここで、\(MR\)はサブグループ平均の移動範囲、\(d_2(w)\)は無偏定数、\(w\)は移動範囲内のサンプル数です。
- 管理限界
  下側制御限界(LCL)は\(LCL=\max(0, d_2(w)*\sigma-k*\sigma*d_3(w))\)で計算されます。
  
  上側制御限界(UCL)は\(UCL=d_2(w)*\sigma+k*\sigma*d_3(w)\)で計算されます。
  
  ここで、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(w\)は移動範囲内のポイント数、\(d_2(\cdot)\)は無偏定数\(d_2()\)の値、\(d_3(\cdot)\)は無偏定数\(d_3()\)の値です。
R管理図: 上記のXbar-RセクションのRチャートを参照してください。
S管理図: 上記のXbar-SセクションのSチャートを参照してください。

Xbar管理図

上記のXbar-RセクションのXbar管理図を参照してください。

R

Xbar-RセクションのR管理図を参照してください。

S管理図

上記のXbar-SセクションのS管理図を参照してください。

ゾーン管理図

シグマの推定: 詳細については、標準偏差の推定セクションを参照してください。
プロットする点: 中心線から1、2、および3標準偏差のゾーンに基づくスコアを累積的にプロット。最初の点については、\(\bar{X_i}\)のゾーンスコアまたはウェイトをプロットし、その後のプロットポイントは連続するデータ点のゾーンスコアを累積し、次のポイントを決定する。点が中心線と交わる場合、累積スコアはリセットされ、0から再スタートします。
中心線: 個々の観測値またはサブグループ平均の全体平均。
ゾーンスコア: 4つのゾーンがあり、ゾーンごとに重みが異なります。
ゾーン1：中心線と\(1\sigma\)の間、重み0

ゾーン2：\(1\sigma\)と\(2\sigma\)の間、重み2

ゾーン3：\(2\sigma\)と\(3\sigma\)の間、重み4

ゾーン4：\(3\sigma\)を超え、重み8

変数管理図 - 個別

I-MR、Z-MR、個別、移動範囲管理図を含みます。

I-MR管理図

上記のI-MR-R/S（間/内）」セクションのI管理図およびMR管理図を参照してください。

Z-MR管理図

シグマの推定: 詳細については、標準偏差の推定セクションを参照してください。\(\sigma\)の推定には、次の4つの方法があります。
- 実行別：各実行ごとに独立して\(\sigma\)を推定します。
- パーツ別（同じパーツのすべての観測値を合算）：同じパーツのすべての実行データを使用して\(\sigma\)を推定します。
- 定数（すべてのデータを合算）：実行とパーツのすべてのデータを\(\sigma\)推定に使用します。
- サイズに比例（対数を使用してすべてのデータを合算）：最初に自然対数変換し、その後、変換されたデータをすべての実行とすべてのパーツで\(\sigma\)の推定に使用する。
工程平均：異なるパーツについては、工程平均が個別に計算されます。履歴値はプロセス平均としても指定することもできます。
Z管理図
- プロットされる点：次のように計算されたデータポイントでZ管理図をプロットします。
  \[z_{i}=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma}\]
  
  ここで、\(X_i\)は観測値、\(\mu\)はグループの平均、\(\sigma\)はグループの標準偏差、\(w\)は移動範囲の幅です。
- 中心線: データはすでに標準化されているため、常に0です。
- 管理限界: データが標準化されているため、上側および下側管理限界は常に-3と3です。
MR管理図
- プロットされる点: 各グループの\(z\)値の移動範囲をプロットする。
- 中心線: データはすでに標準化されているため、常に1.128です。
- 管理限界: データが標準化されているため、下側管理限界は常に0です。上側管理限界は推定法によって異なります。平均移動範囲では、上側管理限界は常に3.686で、中央値移動範囲では3.12です。

個別管理図

上記のI-MR-R/S（間/内）セクションのI管理図を参照してください。

移動範囲管理図

上記のI-MR-R/S（間/内）セクションのMR管理図を参照してください。

計数管理図

P管理図診断、P管理図、Laney P'管理図、NP管理図、U管理図診断、U管理図、Laney U'管理図、C管理図が含まれます。

P管理図診断

プロットされる点
- Xデータ
  補正不良品数: まず、補正不良品数 \(a_i\) を次の式で計算します。
  
  \(a_i=\frac{d_i}{n_i}\bar{n}\), ここで\(d_i\)は第\(i\) 群の不良品数です。\(n_i\)は、第\(i\)群のサブグループサイズです。\(\bar{n}\)は、サブグループサイズの平均です。
  
  次に、補正不良品数を以下の式で変換し、Xデータを取得します。
  
  \[X_i=\arcsin\left(\sqrt{\frac{a_i+0.375}{\bar{n}+0.75}}\right)\]
- Yデータ
  Y データの計算には、次の 4 つの方法が提供されています：Median Rank (Benard)、Mean Rank (HERD-Johnson)、Modified Kaplan-Meier、Kaplan-Meier。これらのメソッドの式は次のとおりです。
  
  \[Y_i=\left\{\begin{array}{ll}\frac{i-0.3}{N+0.4}&Median\;Rank\;(Benard)\cr\frac{i}{N+1}&Mean\;Rank\;(Herd-Johnson)\cr\frac{i-0.5}{N}&Modified\;Kaplan-Meier\cr\frac{i}{N}&Kaplan-Meier\end{array}\right.\]
  
  ここで\(i=1, 2, 3,...,N\)、および\(N\)はデータポイントの数です。
  
  Yデータの種類: Yデータには、パーセント、確率、正規スコアを含む3つがあります。上記の計算式で得られるのは確率です。パーセントと正規スコアは次のように計算されます。
  
  \[Y_i(Percent)=Y_i*100\]
  
  \(Y_i(NormalScore)=\Phi^{-1}(Y_i)\) ここで、\(\Phi^{-1}\) は逆累積分布関数です。
観測変動と期待変動の比率
- 期待変動
  \(ExpectedVariation=\frac{1}{\sqrt{4\bar{n}}}\) ここで\(\bar{n}\) はサブグループサイズの平均です。
- 観測変動
  まず、先ほどの変換済みカウント（\(X_i\)）について正規スコアを計算します。なお、ここで使われる「正規スコア」は、先ほどYデータで使われたものとは異なるものです。手順は次のとおりです。
  
  変換されたカウントの最初の点から最後の点まで調べ、値がすべて等しい連続したデータ点の部分列を見つけます。各サブシーケンスについて、次の式を使って正規スコアを計算します。
  
  \(NormalScores_i=\Phi^{-1}(\frac{Mean-0.375}{N+0.25})\) ここで\(i\) は \(i^{th}\)番目のデータポイント、\(平均\)はそのサブシーケンス内の平均順位（サブシーケンスの平均位置）です。\(N\) is the total number of data points.
  
  次に、\(X_i\)データの中央値50%（第25パーセンタイル未満および第75パーセンタイル超過を除く）を取り出し、対応する\(NormalScores\)とともに使用して、次の線形フィットを行います：
  
  \(NormalScores=\beta_0+\beta_1X\) そこから観測変動を得ます。
  
  \[ObservedVariation=\frac{1}{\beta_1}\]
- 比率
  \[Ratio=\frac{ObservedVariation}{ExpectedVariation}*100\]
比率の95%信頼区間
\[UpperLimit =\exp(0.185+\frac {5.62}{m}+\frac {0.274}{\bar {n}*\bar {p}})*100\]

ここで、\(m\)はサブグループの数、\(\bar{n}\)はサブグループサイズの平均、\(\bar{p}=\frac{\sum d_i}{\sum n_i}\)、\(d_i\)は第\(i\)サブグループの欠陥の数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。

\(LowerLimit=60\)これは、比率の下側信頼区間は固定で60%とします。
判定
比率を95%信頼区間の上限/下限と比較します。
- Ratio > 上側信頼限界：従来のP管理図では誤警報率が高くなる可能性があり、Laney P'管理図の使用が推奨されます。
- Ratio < 下側信頼限界：従来のP管理図では管理限界が広すぎる可能性があり、Laney P'管理図の使用が推奨されます。

P

プロットされる点
\(p_i=\frac{x_i}{n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
中心線
履歴値が指定されている場合は、その履歴値を使用します。指定がない場合は、データから計算した不良率の平均を使用します。

\(\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
管理限界
\[LCL=\max(0, p-k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}})\]

\[UCL=\min(1, p+k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}})\]

ここで、\(p\)はプロセス不良率、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(n_i\)はサブグループ\(i\)のサイズです。

Laney P'

プロットされる点：各サブグループの不良率
\(p_i=\frac{x_i}{n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
中心線
履歴値が指定されている場合は、その履歴値を使用します。指定がない場合は、データから計算した不良率の平均を使用します。

\(\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
シグマZ
まず、各サブグループの不良率\(p_i\)をZスコアに変換します。

次に、Zスコアに対して長さ2の移動範囲を適用し、シグマZを次のように求めます。

\[\sigma_z=\overline{MR}/1.128\]

ここで、\(p_i\) 第\(i\)サブグループの不良率、\(p\)はプロセス不良率、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズ、\(\overline{MR}\)は長さ2の移動範囲の平均値です。
管理限界
\[LCL=\max(0, p-k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}}*\sigma_z)\]

\[UCL=\min(1, p+k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}}*\sigma_z)\]

ここで\(p\)はプロセス不良率、\(k\)はTest 1用のパラメータ、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズ、\(\sigma_z\)は上記で計算したシグマZです。

NP

Plotted Points:各サブグループ()の欠陥の数をプロットする。\(x_i\)
中心線
履歴値が指定されている場合は、その履歴値を使用します。指定がない場合は、データから計算した不良率の平均を使用します。

\(p=\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。

各サブグループの中心線は次のように計算します。

\[CenterLine_i=n_ip\]
管理限界
\[LCL=\max(0, n_ip-k\sqrt{n_ip(1-p)})\]

\[UCL=\min(n_i, n_ip+k\sqrt{n_ip(1-p)})\]

ここで、\(p\)はプロセス不良率、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(n_i\)はサブグループ\(i\)のサイズです。

U管理図診断

P管理図診断と同様の手順ですが、以下の点で計算内容が異なります。

プロットされる点
- Xデータ
  変換カウント
  
  \[X_i=\sqrt{a_i}+\sqrt{a_i+1}\]
観測変動と期待変動の比率
- 期待変動
  \[ExpectedVariation=1\]
比率の95%信頼区間
\[UpperLimit=\exp(0.182+\frac{5.75}{m}+\frac{0.195}{\bar{n}*\bar{u}})*100\]

ここで、\(m\)はサブグループの数、\(\bar{n}\)はサブグループサイズの平均、\(\bar{u}=\frac{\sum d_i}{\sum n_i}\)、\(d_i\)は第\(i\)サブグループの欠陥数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
判定
比率を95%信頼区間の上限/下限と比較します。
- Ratio > 上側信頼限界：従来のU管理図では誤警報率が高くなる可能性があり、Laney U'管理図の使用が推奨されます。
- Ratio < 下側信頼限界：従来のU管理図では管理限界が広すぎる可能性があり、Laney U'管理図の使用が推奨されます。

U

プロットされる点: 各サブグループにおける欠陥率。
\(u_i=\frac{x_i}{n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
中心線
履歴値が指定されている場合は、その履歴値を使用します。指定がない場合は、データから計算した平均を使用します。

\(\bar{u}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
管理限界
\[LCL=\max(0, u-k\sqrt{\frac{u}{n_i}})\]

\[UCL=u+k\sqrt{\frac{u}{n_i}}\]

ここで、\(u\)はプロセス平均欠陥率、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(n_i\)はサブグループ\(i\)のサイズです。

Laney U'

プロットされる点: 各サブグループにおける欠陥率。
\(u_i=\frac{x_i}{n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
中心線
履歴値が指定されている場合は、その履歴値を使用します。指定がない場合は、データから計算した平均を使用します。

\(\bar{u}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\)、ここで\(x_i\)は第\(i\)サブグループの不良数、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズです。
シグマZ
まず、各サブグループレート\(u_i\)をzスコアに変換します：\(z_i=\frac{u_i-u}{\sqrt{\frac{u}{n_i}}}\)

次に、Zスコアに対して長さ2の移動範囲を適用し、シグマZを次のように求めます。

\[\sigma_z=\overline{MR}/1.128\]

ここで、\(u_i\) は第\(i\)サブグループの不良率、\(u\)はプロセスの平均不良率、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズ、\(\overline{MR}\)は長さ2の移動範囲の平均値です。
管理限界
\[LCL=\max(0, u-k\sqrt{\frac{u}{n_i}}*\sigma_z)\]

\[UCL=u+k\sqrt{\frac{u}{n_i}}*\sigma_z\]

ここで\(u\)はプロセス平均不良率、\(k\)はTest 1用のパラメータ、\(n_i\)は第\(i\)サブグループのサイズ、\(\sigma_z\)は上記で計算したものです。

C

プロットされる点：各サブグループにおける欠陥数\(x_i\)をプロットします。
中心線
履歴値が指定されている場合は、この履歴値を使用します。指定がない場合は、データから推定したプロセス平均を使用します。

\(\bar{c}=\frac{\sum x_i}{m}\)、ここで \(x_i\)は第\(i\)サブグループの欠陥数、\(m\) はサブグループの数です。
管理限界
\[LCL=\max(0, c-k\sqrt{c})\]

\[UCL=c+k\sqrt{c}\]

ここで、\(c\)はプロセス平均、\(k\)はテスト1のパラメータです。

時間重み付き管理図

移動平均、EWMA、およびCUSUM管理図が含まれます。

移動平均

プロットされる点
\[MA_i=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\overline{X}_1+\overline{X}_2+\cdots+\overline{X}_i}{i}&i\le v\cr \frac{\overline{X}_{i-v+1}+\overline{X}_{i-v+2}+\cdots+\overline{X}_i}{v}&i>v\end{array}\right.\]

ここで、\(\overline{X}_i\)はサブグループ\(v\)の平均、\(i^{th}\)は移動平均を取る観測数です。
中心線
履歴値が指定されている場合は、この履歴値を使用します。指定がない場合は、データから推定したプロセス平均を使用します。

\(\mu=\frac{\sum x_i}{m}\)、ここで \(x_i\)は観測値、\(m\) は観測値の総数です。
管理限界
\[LCL_i=\left\{\begin{array}{ll}\mu-k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{i}&i\le v\cr \mu-k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_{i-v+1}}+\frac{1}{n_{i-v+2}}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{v}&i>v\end{array}\right.\]

\[UCL_i=\left\{\begin{array}{ll}\mu+k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{i}&i\le v\cr \mu+k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_{i-v+1}}+\frac{1}{n_{i-v+2}}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{v}&i>v\end{array}\right.\]

ここで、\(\mu\)はプロセス平均、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(v\)は移動平均を取る観測数、\(n_i\)はサブグループ\(i^{th}\)のサイズです。

EWMA

プロットされる点
\[z_i=\left\{\begin{array}{ll}w\overline{X}_i+(1-w)\mu&i=1\cr w\overline{X}_i+(1-w)z_{i-1}&i>1\end{array}\right.\]

ここで、\(\mu\)はプロセス平均、\(\overline{X}_i\)は第\(w\)サブグループの平均、\(i^{th}\)は重みです。
中心線
履歴平均が指定されている場合は、この履歴平均を使用します。指定がない場合は、データから推定したプロセス平均を使用します。

\(\mu=\frac{\sum x_i}{m}\)、ここで \(x_i\)は観測値、\(m\) は観測値の総数です。
管理限界
プロットされた点の標準偏差は、次のように計算されます。

\[\sigma_z(i)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{w\sigma}{\sqrt{n_i}}&i=1\cr w\sigma\sqrt{\sum_{j=1}^{i}{\frac{(1-w)^{2*(i-j)}}{n_j}}}&i>1\end{array}\right.\]

次に、管理限界は次のように計算されます。

\[LCL_i=\mu-k\sigma_z(i)\]

\[UCL_i=\mu+k\sigma_z(i)\]

ここで、\(\mu\)はプロセス平均、\(k\)はテスト1のパラメータ、\(\sigma\)は標準偏差（指定された履歴値、またはデータから計算）、\(w\)は重み、\(n_i\)はサブグループ\(i^{th}\)のサイズです。

CUSUM

表形式CUSUM

プロットされる点
表形式CUSUM管理図チャートにプロットされるデータは、\(CL_i\)および\(CU_i\)です。通常は0で初期化されますが、開始時点でプロセスが管理外の場合は、FIR（ファスト・イニシャル・レスポンス）法で初期化できます。

\[CL_0=\left\{\begin{array}{ll}0&No\;FIR\cr -f\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}&Use\;FIR\end{array}\right.\]

\[CU_0=\left\{\begin{array}{ll}0&No\;FIR\cr f\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}&Use\;FIR\end{array}\right.\]

その後、表形式CUSUMの下側および上側のプロットポイントは以下で計算されます。

\[CL_i=\min(0, CL_{i-1}+\overline{X}_i-(T-k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}))\]

\[CU_i=\max(0, CU_{i-1}+\overline{X}_i-(T+k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}))\]

ここで、\(f\)はFIRの標準偏差の数、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)は第\(i^{th}\)サブグループサイズ、\(\overline{X}_i\)は第\(i^{th}\)サブグループの平均、\(T\)はターゲット、\(k\)は検出したいシフトの大きさです。

前回の下側ポイントが下側管理限界を下回った、または前回の上側ポイントが上側管理限界を超えた場合、シグナルをリセットしたい場合には、\(CL_{i-1}\)、\(CU_{i-1}\)をそれぞれ\(CL_0\)、\(CU_0\)に置き換えます。
中心線
中心線は0です。
管理限界
\[LCL_i=-h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]

\[UCL_i=h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]

ここで、\(h\)は決定間隔、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)は\(i^{th}\)サブグループサイズです。

VマスクCUSUM

プロットされる点
VマスクCUSUM管理図にプロットされるデータは、\(C_i\)

\[C_i=C_{i-1}+\overline{X}_i-T\]

ここで、\(\overline{X}_i\)は第\(i^{th}\)サブグループの平均、\(T\)はターゲット値、\(C_0=0\)
Vマスクの傾き
\[Slope_i = k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]

ここで、\(k\)はVマスクアームの傾き、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)は第\(i^{th}\)サブグループのサイズです。
Vマスクの原点幅
\[Width_i=2h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]

ここで、\(h\)は決定間隔、\(\sigma\)はプロセス標準偏差、\(n_i\)は\(i^{th}\)サブグループサイズです。
Vマスク原点
デフォルトでは、原点はサブグループ数から推定されます。