Algorithmus für Regelkarten

Inhalt

Tests für spezielle Ursachen

Regelkarten für Variablen - Teilgruppen

Regelkarten schließen X-quer/R, X-quer/S, I/MR-R/S (zwischen/innerhalb), X-quer, R, S und Zonen ein.

X-quer/R

  • Sigma-Schätzung: Wenn der historische Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwenden, ansonsten wird ein Wert aus den Daten geschätzt.
  • X-quer-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Der Mittelwert der Beobachtungen für jede Teilgruppe
      \[\bar{X_i}=\frac{\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}}{n_i}\]
      wobei \(X_{ij}\) die \(j^{th}\) Beobachtung in der \(i^{th}\) Teilgruppe und \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in der Teilgruppe \(i\) ist.
    • Mittellinie: Stellt den Prozessmittelwert dar. Der historische Wert wird verwendet, falls spezifiziert. Ansonsten wird der Mittelwert der Daten verwendet, der, wie folgt, berechnet wird:
      \(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^NX_i}{N}\), wobei \(N\) die Gesamtanzahl der Beobachtungen ist.
    • Eingriffsgrenzen
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die untere Eingriffsgrenze (UEG) berechnet mit \(LCL_i=\mu-\frac{k\sigma}{\sqrt{n_i}}\)
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die obere Eingriffsgrenze (OEG) berechnet mit \(UCL_i=\mu+\frac{k\sigma}{\sqrt{n_i}}\)
      wobei \(\mu\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung und \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in der Teilgruppe \(i\) ist.
  • R-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Der Bereich für jede Teilgruppe
      \[r_i=\max(Subgroup_i)-\min(Subgroup_i)\]
    • Mittellinie
      \(\bar{R_i}=d_2(n_i)*\sigma\), wobei \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in Teilgruppe \(i\), \(d_2(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(d_2()\) und \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung ist.
    • Eingriffsgrenzen
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die untere Eingriffsgrenze (UEG) berechnet mit \(LCL_i=\max(0, d_2(n_i)*\sigma-k*\sigma*d_3(n_i))\)
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die obere Eingriffsgrenze (OEG) berechnet mit \(UCL_i=d_2(n_i)*\sigma+k*\sigma*d_3(n_i)\)
      wobei \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung, \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in Teilgruppe \(i\), \(d_2(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(d_2()\) und \(d_3(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(d_3()\) ist.

X-quer/S

  • Sigma-Schätzung: Wenn der historische Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwenden, ansonsten wird ein Wert aus den Daten geschätzt.
  • X-quer-Karte: Bitte lesen Sie mehr zu der X-quer-Regelkarte im Abschnitt X-quer/R oben.
  • S-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Die Standardabweichung für jede Teilgruppe, \(s_i\).
    • Mittellinie
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung nicht verwenden: \(\bar{S_i}=\sigma\)
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung verwenden: \(\bar{S_i}=c_4(n_i)*\sigma\)
      , wobei \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in Teilgruppe \(i\), \(c_4(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(c_4()\) und \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung ist.
    • Eingriffsgrenzen
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die untere Eingriffsgrenze (UEG) berechnet mit:
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung nicht verwenden: \(LCL_i=\sigma-\frac{c_5(n_i)}{c_4(n_i)}k\sigma\)
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung verwenden: \(LCL_i=c_4(n_i)\sigma-c_5(n_i)k\sigma\)
      Für jede Teilgruppe \(i\) wird die obere Eingriffsgrenze (OEG) berechnet mit:
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung nicht verwenden: \(LCL_i=\sigma+\frac{c_5(n_i)}{c_4(n_i)}k\sigma\)
      Konstanten für erwartungstreue Schätzung verwenden: \(LCL_i=c_4(n_i)\sigma+c_5(n_i)k\sigma\)
      wobei \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung, \(n_i\) die Anzahl der Beobachtungen in Teilgruppe \(i\), \(c_4(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(c_4(n_i)=\frac{\Gamma(\frac{n_i}{2})}{\Gamma(\frac{n_i-1}{2})}\sqrt{\frac{2}{n_i-1}}\) und \(c_5(\cdot)\) der Wert der Konstanten für erwartungstreue Schätzung \(c_5(n_i)=\sqrt{1-c_4(n_i)^2}\) ist.

I/MR-R/S (Zwischen/Innerhalb)

  • Sigma-Schätzung: Bitte lesen Sie Einzelheiten zu der Schätzung der Standardabweichung. Bitte beachten Sie, wenn der historische Wert der Standardabweichung festgelegt ist, wird \(\sigma_{xbar}\) berechnet mit:
    \[\sigma_{xbar}=\sqrt{\sigma_{between}^2+\frac{\sigma_{within}^2}{SubgroupSize}}\]
  • I-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Für jeden Datenpunkt wird der Mittelwert von jeder Teilgruppe gezeichnet.
    • Mittellinie: Der Prozessmittelwert, \(\mu\). Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwert der Daten genutzt.
    • Eingriffsgrenzen
      Die untere Eingriffsgrenze (UEG) wird berechnet mit \(LCL=\mu-k\sigma\)
      Die obere Eingriffsgrenze (OEG) wird berechnet mit \(UCL=\mu+k\sigma\)
      wobei \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung und \(\mu\) der Prozessmittelwert ist.
  • MR-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Für jeden Datenpunkt wird die gleitende Spannweite (\(MR\)) der Mittelwerte der Teilgruppen gezeichnet.
    • Mittellinie: Schätzen des erwartungstreuen Mittelwerts der gleitenden Spannweite mit:
      \[CenterLine=MR*d_2(w)\]
      wobei \(MR\) die gleitende Spannweite der Mittelwerte der Teilgruppen, \(d_2(w)\) die Konstanten für die erwartungstreue Schätzung und \(w\) die Anzahl der Punkte in der gleitenden Spannweite sind.
    • Eingriffsgrenzen
      Die untere Eingriffsgrenze (UEG) wird berechnet mit \(LCL=\max(0, d_2(w)*\sigma-k*\sigma*d_3(w))\)
      Die obere Eingriffsgrenze (OEG) wird berechnet mit \(UCL=d_2(w)*\sigma+k*\sigma*d_3(w)\)
      wobei \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung, \(w\) die Anzahl der Punkte in der gleitenden Spannweite, \(d_2(\cdot)\) der Wert der Konstanten für die erwartungstreue Schätzung \(d_2()\) und \(d_3(\cdot)\) der Wert der Konstanten für die erwartungstreue Schätzung \(d_3()\) ist.
  • R-Karte: Bitte lesen Sie zur R-Regelkarte im Abschnitt X-quer/R oben.
  • S-Karte: Bitte lesen Sie mehr zur S-Regelkarte im Abschnitt X-quer/S oben.

X-quer

Bitte lesen Sie zur X-quer/R-Regelkarte im Abschnitt X-quer/R oben.

R

Bitte lesen Sie zur R-Regelkarte im Abschnitt X-quer/R oben.

S

Bitte lesen Sie mehr zur S-Regelkarte im Abschnitt X-quer/S oben.

Zone

  • Sigma-Schätzung: Bitte lesen Sie im Abschnitt Schätzung der Standardabweichung weitere Einzelheiten zur Formel.
  • Gezeichnete Punkte: Kumulative Werte basierend auf den Zonen bei 1, 2 und 3 Standardabweichungen von der Mittellinie. Für den ersten Punkt wird der Zonenwert oder die Gewichtung von \(\bar{X_i}\) gezeichnet. Der darauffolgende gezeichnete Punkt ist die Summe der aufeinanderfolgenden Gewichtungen. Wenn der Punkt die Mittellinie kreuzt, wird die Summe auf 0 zurückgesetzt.
  • Mittellinie: Gesamtdurchschnitt der einzelnen Beobachtungen oder Teilgruppenmittelwerte.
  • Zonenwert: Es gibt 4 Zonen, und unterschiedliche Zonen haben eine unterschiedliche Gewichtung.
    Zone 1: Zwischen Mittellinie und \(1\sigma\), Gewichtung von 0
    Zone 2: Zwischen \(1\sigma\) und \(2\sigma\), Gewichtung von 2
    Zone 3: Zwischen \(2\sigma\) und \(3\sigma\), Gewichtung von 4
    Zone 4: Jenseits von \(3\sigma\), Gewichtung von 8

Regelkarten für Variablen - Einzelwerte

Diese Regelkarte umfassen I/MR, Z/MR, Einzelwerte und gleitende Spannweite.

I/MR

Bitte lesen Sie Einzelheiten zur I-Karte und MR-Karte im Abschnitt I/MR-R/S (zwischen/innerhalb) oben.

Z/MR

  • Sigma-Schätzung: Bitte lesen Sie im Abschnitt Schätzung der Standardabweichung weitere Einzelheiten zur Formel. Es stehen 4 Methoden zur Verfügung, um \(\sigma\) zu schätzen:
    • Nach Durchläufen: \(\sigma\) wird unabhängig für jeden Durchlauf geschätzt.
    • Nach Teilen (Alle Beobachtungen für gleiches Teil kombinieren): Alle Durchlaufdaten des gleichen Teils werden verwendet, um \(\sigma\) zu schätzen.
    • Konstante (Alle Beobachtungen kombinieren): Alle Daten, durchlauf- und teileübergreifend, werden für die Schätzung von \(\sigma\) verwendet.
    • Relativ zur Größe (Alle Beobachtungen kombinieren, ln verwenden): Zuerst werden die Daten durch den natürlichen Logarithmus transformiert, und dann werden die transformierten Daten durchlauf- und teileübergreifend zum Schätzen von \(\sigma\) verwendet.
  • Prozessmittelwert: Der Prozessmittelwert wird für unterschiedliche Teile separat berechnet. Historische Werte können auch als Prozessmittelwert festgelegt werden.
  • Z-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Die Z-Karte wird nach dem folgendermaßen berechneten Datenpunkt gezeichnet:
      \[z_{i}=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma}\]
      wobei \(X_i\) die Beobachtung, \(\mu\) der Mittelwert der Gruppe, \(\sigma\) die Standardabweichung der Gruppe und \(w\) die Breite des gleitende Spannweite ist.
    • Mittellinie: Sie ist immer 0, da die Daten bereits standardisiert sind.
    • Eingriffsgrenzen: Aufgrund der Standardisierung der Daten sind die unteren und oberen Eingriffsgrenzen immer -3 bzw. 3.
  • MR-Karte
    • Gezeichnete Punkte: Die gleitende Spannweite der \(z\) Werte in jeder Gruppe.
    • Mittellinie: Sie ist immer 1,128, da die Daten bereits standardisiert sind.
    • Eingriffsgrenzen: Aufgrund der Standardisierung der Daten ist die untere Eingriffsgrenze immer 0. Die obere Eingriffsgrenze unterscheidet sich für unterschiedliche Schätzungsmethoden. Für die gleitende Spannweite ist die obere Eingriffsgrenze immer 3,686, für die gleitende Spannweite des Median 3,12.

Einzelwerte

Bitte lesen Sie Einzelheiten zur I-Regelkarte im Abschnitt I/MR-R/S (zwischen/innerhalb) oben.

Gleitende Spannweite

Bitte lesen Sie Einzelheiten zur MR-Karte im Abschnitt I/MR-R/S (zwischen/innerhalb) oben.

Regelkarten für attributive Daten

Diese Regelkarten umfassen p-Karten-Diagnose, p, p‘ nach Laney, np, u-Karten-Diagnose, u, u‘ nach Laney und c.

p-Karten-Diagnose

  • Gezeichnete Punkte
    • X-Daten
      Angepasste Anzahlen: Zuerst wird die angepasste Anzahl fehlerhafter Einheiten (\(a_i\)) folgendermaßen berechnet:
      \(a_i=\frac{d_i}{n_i}\bar{n}\), wobei \(d_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) und \(\bar{n}\) der Mittelwert der Teilgruppengröße ist.
      Transformierte Anzahlen: Die angepassten Anzahlen werden dann mit Hilfe der Formel unten transformiert, um die X-Daten zu ermitteln:
      \[X_i=\arcsin\left(\sqrt{\frac{a_i+0.375}{\bar{n}+0.75}}\right)\]
    • Y-Daten
      Vier Methoden stehen für die Berechnung der Y-Daten zur Verfügung, einschließlich Median-Rang (Benard), Mittelwert-Rang (Herd-Johnson), modifizierte Kaplan-Meier und Kaplan-Meier. Formeln für diese Methoden sind:
      \[Y_i=\left\{\begin{array}{ll}\frac{i-0.3}{N+0.4}&Median\;Rank\;(Benard)\cr\frac{i}{N+1}&Mean\;Rank\;(Herd-Johnson)\cr\frac{i-0.5}{N}&Modified\;Kaplan-Meier\cr\frac{i}{N}&Kaplan-Meier\end{array}\right.\]
      wobei \(i=1, 2, 3,...,N\) und \(N\) die Anzahl der Datenpunkte ist.
      Y-Datentypen: Es gibt drei Datentypen für Y-Daten, einschließlich Prozent, Wahrscheinlichkeit und Normalwert (Normal Score). Die obige Funktionsberechnung für die Y-Daten ist die Wahrscheinlichkeit. Prozent und Normalwert werden berechnet, wie folgt:
      \[Y_i(Percent)=Y_i*100\]
      \(Y_i(NormalScore)=\Phi^{-1}(Y_i)\), wobei \(\Phi^{-1}\) die Funktion für die inverse Standardnormalverteilung ist.
  • Das Verhältnis der beobachteten Streuung zur erwarteten Streuung
    • Erwartete Streuung
      \(ExpectedVariation=\frac{1}{\sqrt{4\bar{n}}}\), wobei \(\bar{n}\) der Mittelwert der Teilgruppengröße ist.
    • Beobachtete Streuung
      Zuerst werden die Normalwerte der transformierten Anzahlen berechnet (siehe \(X_i\) oben). Beachten Sie, dass dieser Normalwert sich von dem für die Y-Daten unterscheidet. Hier ist das Verfahren:
      Ab des ersten Punkts der transformierten Anzahlen bis zum letzten Punkt wird jeder der darauffolgenden Punkte ermittelt, die alle der gleiche Wert sind. Für jeden Abfolge werden die Normalwerte folgendermaßen berechnet:
      \(NormalScores_i=\Phi^{-1}(\frac{Mean-0.375}{N+0.25})\), wobei \(i\) der \(i^{th}\) Datenpunkt, \(Mittelwert\) der Mittelwert der entsprechenden Abfolge und \(N\) die Gesamtanzahl der Datenpunkte ist.
      Dann werden die mittleren 50 % (ausschließlich den Werten kleiner als das 25. Perzentil oder größer als das 75. Perzentil) der \(X_i\) Daten zur Verwendung mitsamt der entsprechenden \(NormalScores\) ermittelt und danach die lineare Anpassung mit der folgenden Gleichung durchgeführt:
      \(NormalScores=\beta_0+\beta_1X\), dann wird die beobachtete Streuung ermittelt:
      \[ObservedVariation=\frac{1}{\beta_1}\]
    • Verhältnis
      \[Ratio=\frac{ObservedVariation}{ExpectedVariation}*100\]
  • 95-%-Konfidenzgrenzen für Verhältnis
    \[UpperLimit=\exp(0.185+\frac{5.62}{m}+\frac{0.274}{\bar{n}*\bar{p}})*100\]
    wobei \(m\) die Anzahl der Teilgruppen, \(\bar{n}\) der Mittelwert der Teilgruppengröße, \(\bar{p}=\frac{\sum d_i}{\sum n_i}\), \(d_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
    \(LowerLimit=60\), um die untere Konfidenzgrenze für das Verhältnis auf 60 % festzulegen.
  • Entscheidung
    Das Verhältnis wird mit der oberen/unteren 95-%-Konfidenzgrenze verglichen.
    • Verhältnis > Obere Konfidenzgrenze: Die traditionelle p-Regelkarte kann eine erhöhte Falsche-Alarm-Rate ergeben. Die p‘-Karte nach Laney wird empfohlen.
    • Verhältnis < Untere Konfidenzgrenze: Die traditionelle p-Karte kann Eingriffsgrenzen ergeben, die zu weit sind. Die p‘-Karte nach Laney wird empfohlen.

P

  • Gezeichnete Punkte
    \(p_i=\frac{x_i}{n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwertanteil der fehlerhafte Einheiten aus den Daten genutzt, berechnet mit:
    \(\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, p-k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}})\]
    \[UCL=\min(1, p+k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}})\]
    wobei \(p\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1 und \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.

p‘ nach Laney

  • Gezeichnete Punkte: Der Anteil der fehlerhaften Einheiten für jede Teilgruppe:
    \(p_i=\frac{x_i}{n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwertanteil der fehlerhafte Einheiten aus den Daten genutzt, berechnet mit:
    \(\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Sigma-Z
    Zuerst wird jeder Teilgruppenanteil \(p_i\) in z-Werte konvertiert: \(z_i=\frac{p_i-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}}}\)
    Wenden Sie dann die gleitende Spannweite der Länge 2 auf den z-Wert an und ermitteln Sie Sigma Z mittels:
    \[\sigma_z=\overline{MR}/1.128\]
    wobei \(p_i\) der Anteil der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(p\) der Prozessanteil, \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) und \(\overline{MR}\) die gleitende Spannweite der Länge 2 ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, p-k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}}*\sigma_z)\]
    \[UCL=\min(1, p+k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_i}}*\sigma_z)\]
    wobei \(p\) der Prozessanteil, \(k\) der Parameter für Test 1, \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) und \(\sigma_z\) das oben berechnete Sigma Z ist.

NP

  • Gezeichnete Punkte: Die Anzahl der fehlerhaften Einheiten in jeder Teilgruppe (\(x_i\)) wird gezeichnet.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwertanteil der fehlerhafte Einheiten aus den Daten genutzt, berechnet mit:
    \(p=\bar{p}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
    Die Mittellinie für jede Teilgruppe wird folgendermaßen berechnet:
    \[CenterLine_i=n_ip\]
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, n_ip-k\sqrt{n_ip(1-p)})\]
    \[UCL=\min(n_i, n_ip+k\sqrt{n_ip(1-p)})\]
    wobei \(p\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1 und \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.

u-Karten-Diagnose

Bitte lesen Sie im Abschnitt p-Karten-Diagnose Einheiten zu einer entsprechenden Vorgehensweise, aber mit andereen Berechnungen, die unten zusammengefasst sind:
  • Gezeichnete Punkte
    • X-Daten
      Transformierte Zählungen
      \[X_i=\sqrt{a_i}+\sqrt{a_i+1}\]
  • Das Verhältnis der beobachteten Streuung zur erwarteten Streuung
    • Erwartete Streuung
      \[ExpectedVariation=1\]
  • 95-%-Konfidenzgrenzen für Verhältnis
    \[UpperLimit=\exp(0.182+\frac{5.75}{m}+\frac{0.195}{\bar{n}*\bar{u}})*100\]
    wobei \(m\) die Anzahl der Teilgruppen, \(\bar{n}\) der Mittelwert der Teilgruppengröße, \(\bar{u}=\frac{\sum d_i}{\sum n_i}\), \(d_i\) die Fehleranzahl für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Entscheidung
    Das Verhältnis wird mit der oberen/unteren 95-%-Konfidenzgrenze verglichen.
    • Verhältnis > Obere Konfidenzgrenze: Die traditionelle u-Regelkarte kann eine erhöhte Falsche-Alarm-Rate ergeben. Die u‘-Karte nach Laney wird empfohlen.
    • Verhältnis < Untere Konfidenzgrenze: Die traditionelle u-Karte kann Eingriffsgrenzen ergeben, die zu weit sind. Die u‘-Karte nach Laney wird empfohlen.

U

  • Gezeichnete Punkte: Die Fehlerrate für jede Teilgruppe:
    \(u_i=\frac{x_i}{n_i}\), wobei \(x_i\) die Fehleranzahl für Teilgruppe \(i\) und \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwertanteil der Daten genutzt, berechnet mit:
    \(\bar{u}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, u-k\sqrt{\frac{u}{n_i}})\]
    \[UCL=u+k\sqrt{\frac{u}{n_i}}\]
    wobei \(u\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1 und \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.

u‘ nach Laney

  • Gezeichnete Punkte: Die Fehlerrate für jede Teilgruppe:
    \(u_i=\frac{x_i}{n_i}\), wobei \(x_i\) die Fehleranzahl für Teilgruppe \(i\) und \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Mittelwertanteil der Daten genutzt, berechnet mit:
    \(\bar{u}=\frac{\sum x_i}{\sum n_i}\), wobei \(x_i\) die Anzahl der fehlerhaften Einheiten für Teilgruppe \(i\), \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist.
  • Sigma-Z
    Zuerst wird jede Teilgruppenrate \(u_i\) in z-Werte konvertiert: \(z_i=\frac{u_i-u}{\sqrt{\frac{u}{n_i}}}\)
    Wenden Sie dann die gleitende Spannweite der Länge 2 auf den z-Wert an und ermitteln Sie Sigma Z mittels:
    \[\sigma_z=\overline{MR}/1.128\]
    wobei \(u_i\) die Fehlerrate für Teilgruppe \(i\), \(u\) der Prozessmittelwert, \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) und \(\overline{MR}\) die gleitende Spannweite der Länge 2 ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, u-k\sqrt{\frac{u}{n_i}}*\sigma_z)\]
    \[UCL=u+k\sqrt{\frac{u}{n_i}}*\sigma_z\]
    wobei \(u\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1, \(n_i\) die Größe der Teilgruppe \(i\) ist und \(\sigma_z\) oben berechnet wird.

c

  • Gezeichnete Punkte: Die Anzahl der Fehler in jeder Teilgruppe (\(x_i\)) wird gezeichnet.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Prozessmittelwert verwendet, der mittels der Daten geschätzt wird:
    \(\bar{c}=\frac{\sum x_i}{m}\), wobei \(x_i\) die Fehleranzahl in Teilgruppe \(i\) und \(m\) die Größe der Teilgruppe ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL=\max(0, c-k\sqrt{c})\]
    \[UCL=c+k\sqrt{c}\]
    wobei \(c\) der Prozessmittelwert und \(k\) der Parameter für Test 1 ist.

Regelkarten für zeitlich gewichtete Daten

Diese Regelkarten umfassen die Karte der gleitenden Durchschnitte, EWMA- und CUSUM-Karte.

Gleitender Durchschnitt

  • Gezeichnete Punkte
    \[MA_i=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\overline{X}_1+\overline{X}_2+\cdots+\overline{X}_i}{i}&i\le v\cr \frac{\overline{X}_{i-v+1}+\overline{X}_{i-v+2}+\cdots+\overline{X}_i}{v}&i>v\end{array}\right.\]
    wobei \(\overline{X}_i\) der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe und \(v\) die gleitende Zahl des Durchschnitts ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Prozessmittelwert verwendet, der mittels der Daten geschätzt wird:
    \(\mu=\frac{\sum x_i}{m}\), wobei \(x_i\) die Beobachtung und \(m\) die Anzahl der Beobachtungen ist.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL_i=\left\{\begin{array}{ll}\mu-k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{i}&i\le v\cr \mu-k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_{i-v+1}}+\frac{1}{n_{i-v+2}}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{v}&i>v\end{array}\right.\]
    \[UCL_i=\left\{\begin{array}{ll}\mu+k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{i}&i\le v\cr \mu+k\sigma\frac{\sqrt{\frac{1}{n_{i-v+1}}+\frac{1}{n_{i-v+2}}+\cdots+\frac{1}{n_i}}}{v}&i>v\end{array}\right.\]
    wobei \(\mu\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Standardabweichung und \(v\) die gleitende Zahl für den Durchschnitt und \(n_i\) die Teilgruppengröße ist.

EWMA

  • Gezeichnete Punkte
    \[z_i=\left\{\begin{array}{ll}w\overline{X}_i+(1-w)\mu&i=1\cr w\overline{X}_i+(1-w)z_{i-1}&i>1\end{array}\right.\]
    wobei \(\mu\) der Prozessmittelwert, \(\overline{X}_i\) der Mittelwert der \(w\) Teilgruppe und \(i^{th}\) die Gewichtung ist.
  • Mittellinie
    Wenn ein historischer Wert festgelegt ist, wird dieser historische Wert verwendet. Ansonsten wird der Prozessmittelwert verwendet, der mittels der Daten geschätzt wrd.
    \(\mu=\frac{\sum x_i}{m}\), wobei \(x_i\) die Beobachtung und \(m\) die Anzahl der Beobachtungen ist.
  • Eingriffsgrenzen
    Die Standardabweichung der gezeichneten Punkte wird berechnet mit:
    \[\sigma_z(i)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{w\sigma}{\sqrt{n_i}}&i=1\cr w\sigma\sqrt{\sum_{j=1}^{i}{\frac{(1-w)^{2*(i-j)}}{n_j}}}&i>1\end{array}\right.\]
    Die Eingriffsgrenzen werden dann berechnet mit:
    \[LCL_i=\mu-k\sigma_z(i)\]
    \[UCL_i=\mu+k\sigma_z(i)\]
    wobei \(\mu\) der Prozessmittelwert, \(k\) der Parameter für Test 1, \(\sigma\) die Standardabweichung - kann durch historischen Wert festgelegt oder aus Daten berechnet sein -, \(w\) die Gewichtung und \(n_i\) die Teilgruppengröße ist.

CUSUM

Tabellarische CUSUM

  • Gezeichnete Punkte
    Die auf einer tabellarischen CUSUM-Karte gezeichneten Daten sind \(CL_i\) und \(CU_i\). Normalerweise sind sie bei 0 voreingestellt, aber wenn der Prozess beim Start außer Kontrolle ist, kann die FIR-Methode (Fast Initial Response) zur Initalisierung verwendet werden, das heißt:
    \[CL_0=\left\{\begin{array}{ll}0&No\;FIR\cr -f\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}&Use\;FIR\end{array}\right.\]
    \[CU_0=\left\{\begin{array}{ll}0&No\;FIR\cr f\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}&Use\;FIR\end{array}\right.\]
    Die auf der unteren und oberen tabellarischen CUSUM-Karte gezeichneten Punkte sind:
    \[CL_i=\min(0, CL_{i-1}+\overline{X}_i-(T-k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}))\]
    \[CU_i=\max(0, CU_{i-1}+\overline{X}_i-(T+k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}))\]
    wobei \(f\) die Anzahl der Standardabweichungen für FIR, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung, \(n_i\) die \(i^{th}\) Teilgruppengröße, \(\overline{X}_i\) der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe, \(T\) das Soll und \(k\) die Größe des zu erkennenden Shifts ist.
    Wenn der vorherige untere Punkt kleiner ist als die untere Eingriffsgrenze oder der vorherige obere Punkt größer als die obere Eingriffsgrenze ist und das Signal zurückgesetzt werden soll, dann verwendet die Berechnung für \(CL_{i-1}\) und \(CU_{i-1}\) stattdessen \(CL_0\) bzw. \(CU_0\).
  • Mittellinie
    Die Mittellinie ist 0.
  • Eingriffsgrenzen
    \[LCL_i=-h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]
    \[UCL_i=h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]
    wobei \(h\) das Entscheidungsintervall, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung und \(n_i\) die \(i^{th}\) Teilgruppengröße ist.

V-Masken-CUSUM

  • Gezeichnete Punkte
    Die auf einer V-Masken-CUSUM-Karte gezeichneten Daten sind \(C_i\):
    \[C_i=C_{i-1}+\overline{X}_i-T\]
    wobei \(\overline{X}_i\) der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe, \(T\) das Soll und \(C_0=0\) ist.
  • V-Masken-Steigung
    \[Slope_i = k\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]
    wobei \(k\) die Steigung der V-Maskierung, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung und \(n_i\) die \(i^{th}\) Teilgruppengröße ist.
  • Breite der V-Maskierung bei Ursprung
    \[Width_i=2h\frac{\sigma}{\sqrt{n_i}}\]
    wobei \(h\) das Entscheidungsintervall, \(\sigma\) die Prozessstandardabweichung und \(n_i\) die \(i^{th}\) Teilgruppengröße ist.
  • V-Maskierung Ursprung
    Standardmäßig wird der Ursprung durch die Anzahl der Teilgruppen geschätzt.

Multivariate Regelkarten

Diese Regelkarten umfassen T^2-Verallgemeinerte Varianz, T^2, Verallgemeinerte Varianz und Multivariate EWMA-Karten.

T^2-Verallgemeinerte Varianz

Bitte lesen Sie Einzelheiten zu den Karten T^2 und Verallgemeinerte Varianz den jeweiligen folgenden Abschnitt T^2 und Verallgemeinerte Varianz.

T^2

Es gibt \(p\) Variablen und \(n\) Teilgruppen (oder \(n\) einzelne Beobachtungen). \(x_{ij}\) wird als der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe (einzelne Beobachtung) für die \(j^{th}\) Variable und \(x_j\) als der Mittelwert der Teilgruppenmittelwerte (einzelne Beobachtungen) für die \(j^{th}\) Variable verzeichnet. Zuerst wird eine \(n \times p\) Matrix folgendermaßen berechnet:

\[A=\begin{bmatrix} x_{11}-x_1 &x_{12}-x_2 & \cdots & x_{1p}-x_p \\ x_{21}-x_1 &x_{22}-x_2 & \cdots & x_{2p}-x_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1}-x_1 &x_{n2}-x_2 & \cdots & x_{np}-x_p \end{bmatrix}\]

Die transponierte Matrix von \(A\) ist \(A^T\). Die Kovarianzmatrix der Stichprobe ist \(S\), mit inverser Matrix als \(S^{-1}\). \(S\) wird berechnet mit:

\(S=\begin{bmatrix} S_{11} &S_{12} & \cdots & S_{1p} \\ S_{21} &S_{22} & \cdots & S_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{p1} &S_{p2} & \cdots & S_{pp} \end{bmatrix}\), wobei \(S\) die symmetrische Matrix mit \(p \times p\) und \(S_{jk}=S_{kj}\) ist.

Für Teilgruppendaten:

Angenommen, die ursprünglichen Daten für die \(i^{th}\) Teilgruppe der \(j^{th}\) und \(k^{th}\) Variablen sind \(a_{ijm}\) bzw. \(a_{ikm}\), wobei \(m=1, 2, \cdots, s_i\), \(s_i\) ist die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe. Die Kovarianz zwischen Variable \(j\) und \(k\) für die \(i^{th}\) Teilgruppe wird berechnet als:
\[Cov_{ijk}=\frac{1}{s_i-1}\sum_m^{s_i} (a_{ijm}-x_{ij})(a_{ikm}-x_{ik})\]
Anschließend \(S_{jk} = \frac{1}{n}\sum_i^n Cov_{ijk}\)

Für einzelne Daten gibt es \(n\) einzelne Beobachtungen.

\(S_{jk} = \frac{1}{2(n-1)}\sum_i^{n-1}d_{ij}d_{ik}\), wobei \(d_{ij}\) die Differenz zwischen zwei nebeneinanderliegenden Daten für die \(j^{th}\) Variable ist, berechnet mit \(d_{ij} = a_{(i+1)j}-a_{ij}\), \(a_{ij}\) sind die \(i^{th}\) ursprünglichen Daten in der \(j^{th}\) Variable.
  • Gezeichnete Punkte
Die Matrix \(Mat_{T^2} = AS^{-1}A^{T}\) wird berechnet und die Werte der Diagonalen werden aus dieser Matrix als \(Diagonal(Mat_{T^2})\) erhalten. Der \(i^{th}\) gezeichnete Punkt ist dann:
\(T^2_i = s_i * Diagonal(Mat_{T^2})_i\), wobei \(s_i\) die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe (für einzelne Beobachtung, es ist 1) ist.
  • Mittellinie
Die Mittellinie für die \(T^2\)-Karte wird berechnet mit \(K \times X\). \(K\) und \(X\) werden mit Hilfe unterschiedlicher Formeln für verschiedene Datentypen und verschiedene Quellen der Kovarianzmatrix berechnet. Es gibt \(p\) Variablen und \(n\) Teilgruppen (Beobachtungen), und \(s_i\) ist die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe. \(F^{-1}\) ist die inverse kumulative \(F\) Verteilung. \(B^{-1}\) ist die inverse kumulative \(Beta\) Verteilung.
  • Teilgruppendaten
  • Die Kovarianzmatrix wird festgelegt.
\[K_i=\frac{p(n+1)(s_i-1)}{ns_i-n-p+1}\]
\[X_i=F_{p, ns_i-n-p+1}^{-1}(0.5)\]
  • Die Kovarianzmatrix wird geschätzt.
\[K_i=\frac{p(n-1)(s_i-1)}{ns_i-n-p+1}\]
\[X_i=F_{p, ns_i-n-p+1}^{-1}(0.5)\]
  • Einzelne Daten
  • Die Kovarianzmatrix wird festgelegt.
\[K_i=\frac{p(n+1)(n-1)}{n(n-p)}\]
\[X_i=F_{p, n-p}^{-1}(0.5)\]
  • Die Kovarianzmatrix wird geschätzt.
\[K_i=\frac{(n-1)^2}{n}\]
\(X_i=B_{p/2, Q}^{-1}(0.5)\), wobei \(Q = \frac{1}{2}\left[\frac{2(n-1)^2}{3n-4}-p-1\right]\)
  • Eingriffsgrenzen
Die obere Eingriffsgrenze (OEG) wird mit Hilfe verschiedener Formeln für verschiedene Datentypen und verschiedene Quellen der Kovarianzmatrix berechnet. Es gibt \(p\) Variablen und \(n\) Teilgruppen (Beobachtungen für einzelne Daten), und \(s_i\) ist die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe. \(F^{-1}\) ist die inverse kumulative \(F\) Verteilung. \(B^{-1}\) ist die inverse kumulative \(Beta\) Verteilung. \(\alpha=0.00134989803156746\).
  • Teilgruppendaten
  • Die Kovarianzmatrix wird festgelegt.
\[UCL_i=\frac{p(n+1)(s_i-1)}{ns_i-n-p+1}*F_{p, ns_i-n-p+1}^{-1}(1-\alpha)\]
  • Die Kovarianzmatrix wird geschätzt.
\[UCL_i=\frac{p(n-1)(s_i-1)}{ns_i-n-p+1}*F_{p, ns_i-n-p+1}^{-1}(1-\alpha)\]
  • Einzelne Daten
  • Die Kovarianzmatrix wird festgelegt.
\[UCL_i=\frac{p(n+1)(n-1)}{n(n-p)}*F_{p, n-p}^{-1}(1-\alpha)\]
  • Die Kovarianzmatrix wird geschätzt.
\(UCL_i=\frac{(n-1)^2}{n}*B_{p/2, Q}^{-1}(0.5)\), wobei \(Q = \frac{1}{2}\left[\frac{2(n-1)^2}{3n-4}-p-1\right]\)
  • Zerlegte T^2-Statistik
Es gibt \(m\) Stichproben (Teilgruppen) mit Punkten, die außer Kontrolle sind.
  1. Die bedingungslosen \(T^2\) Werte werden berechnet und als \(UT^2\) verzeichnet.
    Für die \(j^{th}\) Variable wird die Hauptuntermatrix von \(S\) als \(S_{xxj}=\begin{bmatrix} S_{11} &S_{12} & \cdots &S_{1(j-1)} &S_{1(j+1)} &\cdots & S_{1p} \\ S_{21} &S_{22} & \cdots &S_{2(j-1)} &S_{2(j+1)} &\cdots & S_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ S_{(j-1)1} &S_{(j-1)2} & \cdots &S_{(j-1)(j-1)} &S_{(j-1)(j+1)} &\cdots & S_{(j-1)p} \\ S_{(j+1)1} &S_{(j+1)2} & \cdots &S_{(j+1)(j-1)} &S_{(j+1)(j+1)} &\cdots & S_{(j+1)p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ S_{p1} &S_{p2} & \cdots &S_{p(j-1)} &S_{p(j+1)} &\cdots & S_{pp} \end{bmatrix}\) extrahiert.
    Die inverse Matrix von \(S_{xxj}\) wird als \(S_{xxj}^{-1}\) verzeichnet.
    Für die \(j^{th}\) Variable des \(i^{th}\) Punkts, der außer Kontrolle ist, wird eine einzeilige Matrix berechnet:
    \(M_{ij}=\begin{bmatrix} x_{i1}-x_1 &x_{i2}-x_2 &\cdots &x_{i(j-1)}-x_{j-1} &\cdots &x_{i(j+1)}-x_{j+1} & \cdots & x_{ip}-x_p \end{bmatrix}\), und die transponierte Matrix wird als \(M_{ij}^T\) verzeichnet.
    Der bedingungslose \(T^2\) Wert für die \(j^{th}\) Variable des \(i^{th}\) Punkts, der außer Kontrolle ist, lautet \(UT_{ij}^2 = s_iM_{ij}S_{xxj}^{-1}M_{ij}^T\), wobei \(s_i\) die Größe der Teilgruppe, die außer Kontrolle ist, darstellt.
  2. Die zerlegte \(T^2\) Statistik wird berechnet und als \(DT^2\) verzeichnet.
    \[DT^2=\begin{bmatrix} T_1^2-UT_{11}^2 &T_1^2-UT_{12}^2 &\cdots &T_1^2-UT_{ip}^2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ T_i^2-UT_{i1}^2 &T_i^2-UT_{i2}^2 &\cdots &T_i^2-UT_{ip}^2\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ T_m^2-UT_{m1}^2 &T_m^2-UT_{m2}^2 &\cdots &T_m^2-UT_{mp}^2 \end{bmatrix}\]
  3. Der \(P\) Wert der zerlegten \(T^2\) wird berechnet.
    \(n\) ist die Anzahl der Teilgruppen (Beobachtungen für einzelne Daten). \(F\) ist kumulative Verteilungsfunktion der \(F\) Verteilung und \(B\) die kumulative Verteilungsfunktion der \(Beta\) Verteilung.
    • Teilgruppendaten
      Wenn die Kovarianzmatrix festgelegt wird, \(P_{ij} = 1-F_{1, n(s_i-1)}(\frac{DT_{ij}^2*n}{n+1})\)
      Wenn die Kovarianzmatrix geschätzt wird, \(P_{ij} = 1-F_{1, n(s_i-1)}(\frac{DT_{ij}^2*n}{n-1})\)
    • Einzelne Daten
      Wenn die Kovarianzmatrix festgelegt wird, \(P_{ij} = 1-F_{1, n-1}(\frac{DT_{ij}^2*n}{n+1})\)
      Wenn die Kovarianzmatrix geschätzt wird, \(P_{ij} = 1-B_{0.5, \frac{n-2}{2}}(\frac{DT_{ij}^2*n}{(n-1)^2})\)

Verallgemeinerte Varianz

Es gibt \(p\) Variablen und \(n\) Teilgruppen (oder \(n\) einzelne Beobachtungen). \(x_{ij}\) wird als der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe (einzelne Beobachtung) für die \(j^{th}\) Variable und \(x_j\) als der Mittelwert der Teilgruppenmittelwerte (einzelne Beobachtungen) für die \(j^{th}\) Variable verzeichnet.

Für Teilgruppendaten:

Angenommen, die ursprünglichen Daten für die \(i^{th}\) Teilgruppe der \(j^{th}\) und \(k^{th}\) Variablen sind \(a_{ijm}\) bzw. \(a_{ikm}\), wobei \(m=1, 2, \cdots, s_i\), \(s_i\) ist die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe. Die Kovarianz zwischen Variable \(j\) und \(k\) für die \(i^{th}\) Teilgruppe wird berechnet als:
\[Cov_{ijk}=\frac{1}{s_i-1}\sum_m^{s_i} (a_{ijm}-x_{ij})(a_{ikm}-x_{ik})\]
Die Stichprobenkovarianzmatrix für die \(i^{th}\) Teilgruppe ist dann:
\[Cov_i = \begin{bmatrix} Cov_{i11} &Cov_{i12} & \cdots & Cov_{i1p} \\ Cov_{i21} &Cov_{i22} & \cdots & Cov_{i2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Cov_{ip1} &Cov_{ip2} & \cdots & Cov_{ipp} \end{bmatrix}\]

Für einzelne Daten:

\(S\) ist die Stichprobenkovarianzmatrix aller Daten, die durch die Formel im Abschnitt T^2 für einzelne Daten berechnet wird.
  • Gezeichnete Punkte
Für Teilgruppendaten ist der gezeichnete Punkt die Determinante der Stichprobenkovarianzmatrix, \(|Cov_i|\).
Für einzelne Daten:
  1. Die Daten werden durch \(a'_{ij} = \frac{a_{ij}-\bar{a_j}}{\sqrt{S_{jj}}}\) normalisiert, wobei \(a_{ij}\) die \(i^{th}\) Beobachtungen für die \(j^{th}\) Variable sind, \(\bar{a_j}\) der Mittelwert der \(j^{th}\) Variable und \(S_{jj}\) der \(j^{th}\) Wert der Diagonale der \(S\) Matrix ist.
  2. Der gezeichnete Punkt ist die Quadratwurzel der Varianz von jeder \(i\) Beobachtung, das heißt \(\sqrt{\frac{1}{p-1}\sum_j^p(a'_{ij}-\bar{a'_i})^2}\), wobei \(p\) die Anzahl der Variablen ist, \(\bar{a'_i}\) ist der Mittelwert der \(i\) Beobachtung.
  • Mittellinie
  • Teilgruppendaten
Die Mittellinie ist die Determinante der Stichprobenkovarianzmatrix aller Daten, \(|S|\), wobei \(S\) durch die Formel im Abschnitt T^2 für die Teilgruppendaten berechnet wird.
  • Einzelne Daten
Die Mittellinie ist der Mittelwert der gezeichneten Punkte für einzelne Daten.
  • Eingriffsgrenzen
Es gibt \(p\) Variablen und \(n\) Teilgruppen (Beobachtungen für einzelne Daten), und \(s_i\) ist die Größe der \(i^{th}\) Teilgruppe. Die untere Eingriffsgrenze (UEG) und obere Eingriffsgrenze werden, wie folgt, berechnet.
  • Teilgruppendaten
\[LCL_i=max(0, \frac{|S|}{b_1}(b_1-3\sqrt{b_2}))\]
\[UCL_i=\frac{|S|}{b_1}(b_1+3\sqrt{b_2})\]
wobei \(b_1=\frac{1}{(s_i-1)^p}\prod_{j=1}^{p}(s_i-j)\)
\[b_2=\frac{1}{(s_i-1)^{2p}}\prod_{j=1}^{p}(s_i-j)\left[\prod_{j=1}^{p}(s_i-j+2)-\prod_{j=1}^{p}(s_i-j)\right]\]
  • Einzelne Daten
  1. \(dr = \frac{p}{(p-0.12867704370081)\sqrt{2(p-1)}}\) wird berechnet.
  2. \(ds = CL * 3 * dr\) wird berechnet.
  3. Dann \(LCL = max(0, CL-ds)\), \(UCL=CL+ds\)
wobei \(CL\) der Wert der Mittellinie ist.

Multivariate EWMA

  • Gezeichnete Punkte
Es gibt \(p\) Variable und \(n\) Teilgruppen. \(x_{ij}\) wird als der Mittelwert der \(i^{th}\) Teilgruppe für die \(j^{th}\) Variable und \(x_j\) als der Mittelwert der Teilgruppenmittelwerte für die \(j^{th}\) Variable verzeichnet. Gewichtung ist \(w\). \(S\) ist die Stichprobenkovarianzmatrix aller Daten, die durch die Formel im Abschnitt T^2 berechnet wird. Für die \(i^{th}\) Teilgruppe wird der gezeichnete Punkt mit Hilfe der folgenden Abfolgeformel berechnet.
\[x'_{ij} = x_{ij}-x_j, for j=1, 2, ..., p\]
\[z_{ij} = wx'_{ij} + (1-w)z_{(i-1)j}, for j=1, 2, ..., p, and\ z_{0j}=0\]
Form einer Matrix \(Z_i=\begin{bmatrix}z_{i1} & z_{i2} & \cdots & z_{ip}\end{bmatrix}\)
Gewichtete Kovarianzmatrix \(\Sigma_{Z_i}=\frac{w(1-(1-w)^{2i})}{2-w}S, where\ i=1, 2, ..., n\)
Der \(i^{th}\) gezeichnete Punkt ist \(s_iZ_i\Sigma_{Z_i}^{-1}Z_i^T, where\ Z_i^T\ is\ transposed\ matrix\ of\ Z_i, and\ \Sigma_{Z_i}^{-1} is\ inversed\ matrix\ of\ \Sigma_{Z_i}\)
  • Eingriffsgrenzen
Die obere Eingriffsgrenze für die MEWMA-Regelkarte wird mit Hilfe des in folgendem Band beschriebenen Algorithmus berechnet.
K M. Bodden und S E. Rigdon (1999). A Program for Approximating the In-Control ARL for the MEWMA Chart. Journal of Quality Technology, 31. Januar, 120−123.